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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。若 $ c^{2}=a^{2}-b^{2} $，则()
A.$ ∠ A = 90^{\circ} $
B.$ ∠ B = 90^{\circ} $
C.$ ∠ C = 90^{\circ} $
D.无法确定
A.$ ∠ A = 90^{\circ} $
B.$ ∠ B = 90^{\circ} $
C.$ ∠ C = 90^{\circ} $
D.无法确定
答案
A
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，直角所对的边的平方等于另外两边的平方和。已知$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，移项可得$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$a$为斜边，斜边所对的角为直角，即$∠A = 90^{\circ}$。
2. 如图，在平面直角坐标系中，若点 $ A $ 的坐标为 $ (1,\sqrt{3}) $，则 $ OA $ 的长为（）
A.1
B.2
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{2} $
A.1
B.2
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \sqrt{2} $
答案
B
解析
∵点A的坐标为(1,√3)，O为坐标原点，
∴OA的长为√(1²+(√3)²)=√(1+3)=√4=2。
∴OA的长为√(1²+(√3)²)=√(1+3)=√4=2。
3. 如图，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据的单位为“cm”，那么 $ A $，$ B $ 两点之间的距离是()
A.8 cm
B.$ 8\sqrt{2} $ cm
C.16 cm
D.$ 16\sqrt{2} $ cm
A.8 cm
B.$ 8\sqrt{2} $ cm
C.16 cm
D.$ 16\sqrt{2} $ cm
答案
D
解析
建立平面直角坐标系，设A点坐标为(0,0)。由题意，“工”字形为轴对称图形，所有角为直角。水平方向：总长度20cm，上横杠长12cm，左右对称突出部分各为(20-12)/2=4cm，故A到B的水平距离为4+12=16cm。竖直方向：由图中5cm、6cm数据，竖直总距离为5+6+5=16cm（两侧各5cm，中间6cm）。根据勾股定理，AB距离为√(16²+16²)=16√2cm。
4. 如图，在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 是直角三角形，点 $ C $ 的坐标为 $ (-1,0) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (2,1) $。若以点 $ C $ 为圆心，$ CB $ 的长为半径画弧交 $ x $ 轴正半轴于点 $ M $，则点 $ M $ 的坐标为（带根号表示）。
答案
(√10 - 1, 0)
解析
∵点C(-1,0)，点B(2,1)，∴CB=√[(2 - (-1))² + (1 - 0)²]=√(3² + 1²)=√10。以C为圆心，CB为半径画弧交x轴正半轴于M，设M(m,0)(m＞0)，则CM=CB=√10。∵点C(-1,0)，M(m,0)，∴CM=|m - (-1)|=m + 1（m＞0）。∴m + 1=√10，解得m=√10 - 1。故点M坐标为(√10 - 1, 0)。
5. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 2AC $。以点 $ A $ 为圆心，$ AC $ 的长为半径画弧，交 $ AB $ 于点 $ D $，以点 $ B $ 为圆心，$ BD $ 的长为半径画弧，交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ AC = 2 $，则 $ CE = $。
答案
$2\sqrt{3}-2$（无选择题选项，直接填数值结果）。
解析
在$Rt△ ABC$中，由$AB = 2AC$，$AC = 2$，可得$AB=4$。
根据勾股定理$BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
因为以点$A$为圆心，$AC$的长为半径画弧交$AB$于点$D$，所以$AD = AC = 2$，那么$BD=AB - AD=4 - 2 = 2$。
又因为以点$B$为圆心，$BD$的长为半径画弧交$BC$于点$E$，所以$BE = BD = 2$。
则$CE=BC - BE=2\sqrt{3}-2$。
根据勾股定理$BC = \sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
因为以点$A$为圆心，$AC$的长为半径画弧交$AB$于点$D$，所以$AD = AC = 2$，那么$BD=AB - AD=4 - 2 = 2$。
又因为以点$B$为圆心，$BD$的长为半径画弧交$BC$于点$E$，所以$BE = BD = 2$。
则$CE=BC - BE=2\sqrt{3}-2$。
6. 如图，一超市门口的墙 $ AB $ 上装有一个传感器 $ P $，离地面高度 $ PB = 4.7 \mathrm{ m} $。当人从门外走到离该传感器 $ 4 \mathrm{ m} $ 及 $ 4 \mathrm{ m} $ 以内的范围时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高 $ 1.7 \mathrm{ m} $ 的小明走到 $ D $ 处时，恰好响起“欢迎光临”，则 $ BD $ 的长为 m。
答案
7. 提升题 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ DAB = ∠ BCD = 90^{\circ} $，分别以四边形 $ ABCD $ 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $。若 $ b + c = 12 $，则 $ a + d = $。
答案
12
解析
连接BD。在Rt△ABD中，∠DAB=90°，由勾股定理得BD²=AB²+AD²。在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理得BD²=BC²+CD²。设以AB、BC、CD、DA为边的正方形面积分别为a、b、c、d，则a=AB²，b=BC²，c=CD²，d=AD²。故a+d=AB²+AD²=BD²，b+c=BC²+CD²=BD²，所以a+d=b+c=12。
8. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点：
（1）在图①中画出边长分别为 $ 3 $，$ 2\sqrt{2} $，$ \sqrt{5} $ 的三角形（不写画法）；
（2）在图②中画出边长分别为 $ \sqrt{13} $，$ 4 $，$ \sqrt{13} $，$ 4 $ 的平行四边形（不写画法）。
（1）在图①中画出边长分别为 $ 3 $，$ 2\sqrt{2} $，$ \sqrt{5} $ 的三角形（不写画法）；
（2）在图②中画出边长分别为 $ \sqrt{13} $，$ 4 $，$ \sqrt{13} $，$ 4 $ 的平行四边形（不写画法）。
答案
(1) 在图①中：
取格点 $ A $，向右3个单位到格点 $ B $，$ AB = 3 $；
从 $ A $ 向上2个单位，向右2个单位到格点 $ C $，$ AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} $；
从 $ B $ 向上1个单位，向右2个单位到格点 $ D $，$ BD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $，连接相应点形成三角形。
(图片中三角形画法不唯一，满足条件即可)
(2) 在图②中：
取格点 $ E $，向右3个单位，向上2个单位到格点 $ F $，$ EF = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} $；
从 $ E $ 向右4个单位到格点 $ G $，$ EG = 4 $；
从 $ F $ 向右4个单位到格点 $ H $，$ FH = 4 $；
从 $ G $ 向上2个单位，向右3个单位到格点 $ I(和H点重合) $，连接相应点形成平行四边形。
(图片中平行四边形画法不唯一，满足条件即可)
取格点 $ A $，向右3个单位到格点 $ B $，$ AB = 3 $；
从 $ A $ 向上2个单位，向右2个单位到格点 $ C $，$ AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} $；
从 $ B $ 向上1个单位，向右2个单位到格点 $ D $，$ BD = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $，连接相应点形成三角形。
(图片中三角形画法不唯一，满足条件即可)
(2) 在图②中：
取格点 $ E $，向右3个单位，向上2个单位到格点 $ F $，$ EF = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} $；
从 $ E $ 向右4个单位到格点 $ G $，$ EG = 4 $；
从 $ F $ 向右4个单位到格点 $ H $，$ FH = 4 $；
从 $ G $ 向上2个单位，向右3个单位到格点 $ I(和H点重合) $，连接相应点形成平行四边形。
(图片中平行四边形画法不唯一，满足条件即可)
