9. 提升题 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形中较长的直角边长都为 $ a $，较短的直角边长都为 $ b $，斜边长都为 $ c $）大正方形的面积可以表示为 $ c^{2} $，也可以表示为 $ 4× \dfrac{1}{2}ab + (a - b)^{2} $，由此推导出重要的勾股定理：若直角三角形两条直角边长为 $ a $，$ b $，斜边长为 $ c $，则 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $。
（1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理。
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $ C $，河边原有两个取水点 $ A $，$ B $，$ AB = AC $。由于某种原因，由 $ C $ 到 $ A $ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点 $ H $（$ A $，$ H $，$ B $ 在同一条直线上），并新修一条路 $ CH $，且 $ CH ⊥ AB $。测得 $ CH = 0.8 \mathrm{ km} $，$ HB = 0.6 \mathrm{ km} $，求新路 $ CH $ 比原路 $ CA $ 少多少千米。（结果保留两位小数）
（3）小明继续思考研究，发现了已知三角形三边的长可求高的一种方法。他是这样思考的：在第（2）问中，若 $ AB ≠ AC $，$ CH ⊥ AB $，$ AC = 10 $，$ BC = 17 $，$ AB = 21 $，设 $ AH = x $，可以求 $ CH $ 的值。请帮小明写出求 $ CH $ 的过程。

（1）梯形面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，也等于两个直角三角形面积与中间直角三角形面积之和，即$2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。
$\therefore \frac{1}{2}(a+b)^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
展开得$\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2$，
两边乘2：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
化简得$a^2+b^2=c^2$。
（2）设$AC=AB=x$，则$AH=x-0.6$。
在$Rt△ ACH$中，$AC^2=AH^2+CH^2$，
即$x^2=(x-0.6)^2+0.8^2$，
展开：$x^2=x^2-1.2x+0.36+0.64$，
$1.2x=1$，$x=\frac{5}{6}\approx0.83$。
$CA-CH\approx0.83-0.8=0.03$（km）。
（3）设$AH=x$，则$HB=21-x$。
在$Rt△ ACH$中，$CH^2=AC^2-AH^2=10^2-x^2$；
在$Rt△ BCH$中，$CH^2=BC^2-HB^2=17^2-(21-x)^2$。
$\therefore 100-x^2=289-(441-42x+x^2)$，
$100-x^2=289-441+42x-x^2$，
$42x=252$，$x=6$。
$CH^2=10^2-6^2=64$，$CH=8$。