1. 如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为()


A.3
B.9
C.16
D.25

B

设正方形边长为a，由图可知直角三角形两直角边分别为a和4，斜边为5。根据勾股定理得a²+4²=5²，即a²+16=25，解得a²=9，所以正方形面积为9。

2. 如图，在△ABC 中，AB = 10，AC = 8.在高线 AD 所在直线上任取一点 P(不与点 A，D 重合)，连接 PB，PC，则 PB² - PC² 的值为()

A.6
B.18
C.36
D.72

C

由题意，$AB = 10$，$AC = 8$，$AD$ 为高，设$BD = x$，$DC = y$，则在直角三角形 $ABD$ 和 $ACD$ 中，根据勾股定理，有：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 \quad ⇒ \quad 10^2 = AD^2 + x^2$，
$AC^2 = AD^2 + DC^2 \quad ⇒ \quad 8^2 = AD^2 + y^2$，
由于 $BC = BD + DC$，在直角三角形 $PBD$ 和 $PCD$ 中，再次应用勾股定理，有：
$PB^2 = PD^2 + BD^2$，
$PC^2 = PD^2 + DC^2$，
因此：
$PB^2 - PC^2 = (PD^2 + BD^2) - (PD^2 + DC^2) = BD^2 - DC^2 = x^2 - y^2$，
由 $10^2 = AD^2 + x^2$ 和 $8^2 = AD^2 + y^2$，两式相减得：
$100 - 64 = x^2 - y^2$，
即：
$x^2 - y^2 = 36$，
所以 $PB^2 - PC^2 = 36$。

3. 如图，一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AO 上，梯子底端点 B 到墙底部点 O 的距离 BO 为 0.7 m.如果将梯子顶端点 A 沿墙下滑 0.4 m 到点 C 处，梯子底端点 B 将外移的距离 BD 为()

A.0.8 m
B.0.7 m
C.0.6 m
D.0.5 m

A

首先，我们利用勾股定理求出梯子初始位置时顶端离地面的高度。
设$OA$为梯子初始顶端到墙底部的距离，已知$AB = 2.5\mathrm{m}$，$BO = 0.7\mathrm{m}$，根据勾股定理有：
$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{2.5^{2} - 0.7^{2}}=\sqrt{6.25-0.49}=\sqrt{5.76}= 2.4(\mathrm{m})$，
当梯子顶端下滑$0.4\mathrm{m}$后，新的顶端到墙底部的距离$OC$为：
$OC = OA - 0.4\mathrm{m} = 2.4\mathrm{m} - 0.4\mathrm{m} = 2\mathrm{m}$，
由于梯子长度不变，我们可以再次应用勾股定理求出新的底端到墙底部的距离$OD$：
$OD=\sqrt{CD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{2.5^{2} - 2^{2}}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}= 1.5(\mathrm{m})$，
梯子底端外移的距离$BD$为新的底端到墙底部的距离减去旧的底端到墙底部的距离：
$BD = OD - OB = 1.5\mathrm{m} - 0.7\mathrm{m} = 0.8\mathrm{m}$。

4. 已知命题“若 a = 1，则 |a| = 1”，其逆命题是(填“真”或“假”)命题.

假

原命题的逆命题为“若|a|=1，则a=1”。当|a|=1时，a=1或a=-1，所以逆命题为假命题。

5. 如图，一根长 20 cm 的搅拌勺置于底面直径为 12 cm，高为 9 cm 的圆柱形器皿中.若搅拌勺露在器皿外面的长度为 h cm，则 h 的取值范围是.

5≤h≤11

当搅拌勺垂直放置时，在器皿内部长度最短，为圆柱高9cm，此时露在外面长度h=20-9=11cm；当搅拌勺斜放时，在器皿内部长度最长，为圆柱轴截面长方形对角线长，轴截面长12cm（直径）、宽9cm（高），对角线长√(12²+9²)=15cm，此时露在外面长度h=20-15=5cm。故h的取值范围是5≤h≤11。

6. 提升题 某次机器人创意大赛中，一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径如图.机器人从点 P 先往西走 13 m，又往北走 4 m，遇到障碍后又往东走 6 m，再转向北走 8 m 后往西拐，走了 2 m 就到达点 Q，则 P，Q 两点间的距离为m.

以点P为原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系。
1. 机器人从P(0,0)出发：
往西走13m：坐标变为(-13, 0)；
往北走4m：坐标变为(-13, 4)；
往东走6m：坐标变为(-13+6, 4)=(-7, 4)；
往北走8m：坐标变为(-7, 4+8)=(-7, 12)；
往西走2m：坐标变为(-7-2, 12)=(-9, 12)，即点Q(-9,12)。
2. 计算P(0,0)与Q(-9,12)的距离：
PQ=√[(-9-0)²+(12-0)²]=√(81+144)=√225=15(m)。
15

7. 某工厂计划生产一批自行车，图①为自行车的实物图，图②为其车架部分的示意图.经测量，上管 AB = 64 cm，下管 AD = 80 cm，∠BDC = 90°，后下叉 CD = 55 cm，后上叉 CB = 73 cm.根据设计要求需保证 AB // CD，请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由.

要判断AB是否平行于CD，需通过计算证明∠ABD=∠BDC=90°，利用内错角相等证明平行。
1. 在Rt△BDC中，求BD长度：
∵∠BDC=90°，CD=55cm，CB=73cm，
由勾股定理得：$BD^2=CB^2-CD^2=73^2-55^2=5329-3025=2304$，
∴$BD=48cm$。
2. 在△ABD中，验证∠ABD=90°：
∵AD=80cm，AB=64cm，BD=48cm，
且$AB^2+BD^2=64^2+48^2=4096+2304=6400=80^2=AD^2$，
∴△ABD是直角三角形，∠ABD=90°。
3. 证明AB//CD：
∵∠ABD=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠BDC（内错角相等），
∴AB//CD。
结论：该车架符合设计要求。