1. (★)在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛评分的离差平方和为。

（此处应填数值，因题目不是选择题，按要求应直接给出结果）2.5

首先计算六位评委评分的平均数。将各评分相加得$8 + 7.5 + 9.5 + 8.5 + 8.5 + 9 = 51$，平均数$\overline{x}=\frac{51}{6} = 8.5$。再根据离差平方和公式$\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，分别计算$(8 - 8.5)^{2}=0.25$，$(7.5 - 8.5)^{2}=1$，$(9.5 - 8.5)^{2}=1$，$(8.5 - 8.5)^{2}=0$，$(8.5 - 8.5)^{2}=0$，$(9 - 8.5)^{2}=0.25$。最后将它们相加得离差平方和为$0.25 + 1+1 + 0+0+0.25 = 2.5$。

2. (★)一般地，有n个数据$x_{1},x_{2},···,x_{n}$，用$\overline{x}$表示它们的平均数。我们把$(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}$叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作$d^{2}$。如果把这组数据分为两组，前$m(m ＜ n)$个数据为一组，后$(n - m)$个数据为一组，它们的平均数分别记为$\overline{x_{1}}$和$\overline{x_{2}}$，离差平方和分别为$d_{1}^{2}=(x_{1}-\overline{x_{1}})^{2}+(x_{2}-\overline{x_{1}})^{2}+···+(x_{m}-\overline{x_{1}})^{2}$，$d_{2}^{2}=(x_{m + 1}-\overline{x_{2}})^{2}+(x_{m + 2}-\overline{x_{2}})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x_{2}})^{2}$，其中$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$称为，表示两个组内数据的离散程度。

组内离差平方和

根据题目中对“离差平方和”的定义及分组后的描述，$d_{1}^{2}$是前m个数据的组内离差平方和，$d_{2}^{2}$是后(n - m)个数据的组内离差平方和，所以$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}$称为组内离差平方和。

3. (★)一组数据进行分组的原则是组内离差平方和最。

小

一组数据进行分组时，为了使同组内的数据具有较高的相似性，通常需要使组内数据的离差平方和尽可能小，这样可以让同组内的数据更集中，分组更有意义。所以一组数据进行分组的原则是组内离差平方和最小。

4. (★)在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是 【 】

A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等

B

组内离差平方和最小意味着组内数据的波动小，差异小；同时为了更好区分不同组，组间差异应尽可能大，这符合分组的目的。A选项每组数据量相等不是该要求的目的；C选项减少计算复杂度与离差平方和无关；D选项组间均值相等不符合分组意义。

5. (★)某小组8名学生的数学考试成绩分别为88，98，87，92，92，90，91，96，老师决定将这些成绩分为两组，以便更好地分析学生的成绩分布。若按照以下分组方式：第一组$\{87,88,90,91,92,92\}$，第二组$\{96,98\}$，则组内离差平方和为。

24（即填写$24$）

首先，需要计算第一组的离差平方和。
第一组的平均数为：
$\frac{1}{6}(87 + 88 + 90 + 91 + 92 + 92) = 90$，
第一组的每个数据与平均数的差的平方和为：
$(87 - 90)^{2} + (88 - 90)^{2} + (90 - 90)^{2} + (91 - 90)^{2} + (92 - 90)^{2} + (92 - 90)^{2} $
$= 9 + 4 + 0 + 1 + 4 + 4 $
$= 22$
接着，计算第二组的离差平方和。
第二组的平均数为：
$\frac{1}{2}(96 + 98) = 97$，
第二组的每个数据与平均数的差的平方和为：
$(96 - 97)^{2} + (98 - 97)^{2} $
$= 1 + 1 $
$= 2$
最后，将两组的离差平方和相加，得到总的离差平方和：
$22 + 2 = 24$。

6. (★★)甲、乙、丙、丁四名学生某项竞赛成绩(满分30)如下：15，18，15，24。根据组内离差平方和最小的原则，将竞赛成绩分成两组。

分组为{24}和{15,18,15}。

1. 列出所有可能分组情况并计算组内离差平方和：
情况1：1人一组和3人一组
甲(15)单独，另三人(18,15,24)：离差平方和=0+[(18-19)²+(15-19)²+(24-19)²]=0+42=42
乙(18)单独，另三人(15,15,24)：离差平方和=0+[(15-18)²+(15-18)²+(24-18)²]=0+54=54
丙(15)单独，另三人(15,18,24)：离差平方和=0+[(15-19)²+(18-19)²+(24-19)²]=0+42=42
丁(24)单独，另三人(15,18,15)：离差平方和=0+[(15-16)²+(18-16)²+(15-16)²]=0+6=6
情况2：2人一组和2人一组
(15,18)和(15,24)：离差平方和=[(15-16.5)²+(18-16.5)²]+[(15-19.5)²+(24-19.5)²]=4.5+40.5=45
(15,15)和(18,24)：离差平方和=[(15-15)²+(15-15)²]+[(18-21)²+(24-21)²]=0+18=18
(15,24)和(18,15)：离差平方和=45（与第一种2人分组重复）
2. 比较所有组内离差平方和：6＜18＜42＜45＜54。
3. 结论：组内离差平方和最小的分组为：{24}和{15,18,15}。

7. (★)若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需 【 】

A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数

B

组内离差平方和是指每个数据与本组平均值之差的平方的总和，将数据分为两组时，需计算两组各自的离差平方和并求和。