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1. 如图，AD 是线段 BC 的垂直平分线，EF 是线段 AB 的垂直平分线，点 E 在 AC 上，且 $ BE + CE = 20 \mathrm{ cm} $，求 AB 的长度。
答案
1.解:因为EF是线段AB的垂直平分线，所以AE=BE.
因为BE+CE=20cm,
所以AE+CE=AC=20cm.
因为AD是线段BC的垂直平分线，
所以AB=AC=20cm.
因为BE+CE=20cm,
所以AE+CE=AC=20cm.
因为AD是线段BC的垂直平分线，
所以AB=AC=20cm.
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化：
1. 首先，EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，点E在EF上，因此可得$AE=BE$；
2. 已知$BE + CE = 20 \mathrm{ cm}$，将$BE$替换为$AE$，可得到$AE+CE=AC$，进而求出$AC$的长度；
3. 其次，AD是BC的垂直平分线，再次利用垂直平分线的性质，可得$AB=AC$，从而求出AB的长度。
【解析】
解：因为EF是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE=BE$。
因为$BE + CE = 20 \mathrm{ cm}$，
所以$AE + CE = AC = 20 \mathrm{ cm}$。
又因为AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=AC$，
所以$AB=20 \mathrm{ cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{20\mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过垂直平分线的性质实现线段的等量代换，将已知的线段和转化为所求线段相关的长度，属于基础几何题，需要熟练掌握垂直平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化：
1. 首先，EF是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，点E在EF上，因此可得$AE=BE$；
2. 已知$BE + CE = 20 \mathrm{ cm}$，将$BE$替换为$AE$，可得到$AE+CE=AC$，进而求出$AC$的长度；
3. 其次，AD是BC的垂直平分线，再次利用垂直平分线的性质，可得$AB=AC$，从而求出AB的长度。
【解析】
解：因为EF是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE=BE$。
因为$BE + CE = 20 \mathrm{ cm}$，
所以$AE + CE = AC = 20 \mathrm{ cm}$。
又因为AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=AC$，
所以$AB=20 \mathrm{ cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{20\mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过垂直平分线的性质实现线段的等量代换，将已知的线段和转化为所求线段相关的长度，属于基础几何题，需要熟练掌握垂直平分线的性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
2. 如图，点 A，B，C 为某公园的三个景点，景点 A 和景点 B 之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭 P，使得 $ BP + CP = AB $，请作出点 P。
答案
2.解:点P如图所示.
解析
【分析】
首先对已知条件$ BP + CP = AB $进行转化，因为$ AB=AP+BP $，将其代入条件可得$ BP + CP = AP + BP $，两边同时减去$ BP $，可推出$ CP=AP $。根据垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点P是线段AC的垂直平分线与AB的交点。我们只需要作出AC的垂直平分线，找到它与AB的交点即可得到点P。
【解析】
1. 连接线段AC；
2. 作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AB的交点即为所求的点P。
【答案】
【知识点】
垂直平分线的性质，线段和差转化
【点评】
本题主要考查线段和差的转化以及垂直平分线性质的应用，需要先通过代数推导明确点P的几何特征，再进行作图，既考查了逻辑推理能力，也考查了基本的尺规作图能力。
【难度系数】
0.6
首先对已知条件$ BP + CP = AB $进行转化，因为$ AB=AP+BP $，将其代入条件可得$ BP + CP = AP + BP $，两边同时减去$ BP $，可推出$ CP=AP $。根据垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以点P是线段AC的垂直平分线与AB的交点。我们只需要作出AC的垂直平分线，找到它与AB的交点即可得到点P。
【解析】
1. 连接线段AC；
2. 作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AB的交点即为所求的点P。
【答案】
【知识点】
垂直平分线的性质，线段和差转化
【点评】
本题主要考查线段和差的转化以及垂直平分线性质的应用，需要先通过代数推导明确点P的几何特征，再进行作图，既考查了逻辑推理能力，也考查了基本的尺规作图能力。
【难度系数】
0.6
在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，设 $ △ ABC $ 的面积为 S，图①中，点 E，F，M，N 是中线 AD 上的点；图②中，$ ∠ BAC = 60° $，三边的高 AD，CF，BE 交于点 O；图③中，D 为 BC 的中点，$ ∠ BAC = ∠ MDN = 90° $，求三幅图中的阴影部分面积（用含 S 的代数式表示）。
答案
解:图①,因为AB=AC,点D是BC中点,所以BD=CD,AD垂直平分BC,所以阴影部分面积为$\frac{1}{2}S$;图②,因为AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC是等边三角形,且AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB,所以AD垂直平分BC,BE垂直平分AC,CF垂直平分AB,所以阴影部分面积为$\frac{1}{2}S$;如图③,连接AD,因为AB=AC,∠BAC=∠MDN=90°,D为BC中点,
所以可得△ADF≌△BDE,所以$S_{△ADF}=S_{△BDE}$,所以阴影部分面积为$\frac{1}{2}S$.
解析
【分析】
我们可以利用等腰（等边）三角形的对称性以及全等三角形的面积相等来转化阴影部分的面积：
1. 图①：AB=AC，AD是中线，所以AD是等腰△ABC的对称轴，阴影部分的多个三角形可以通过对称，将它们的面积和转化为△ABD的面积，而△ABD的面积是△ABC面积的一半；
2. 图②：AB=AC且∠BAC=60°，可知△ABC是等边三角形，三条高交于点O，等边三角形是轴对称图形，利用对称性可将阴影部分面积转化为△ABC面积的一半；
3. 图③：连接AD，由AB=AC，∠BAC=90°，D是BC中点，可得AD=BD，∠DAF=∠DBE=45°，结合∠MDN=90°可证△ADF≌△BDE，将阴影部分面积转化为△ABD的面积，即△ABC面积的一半。
【解析】
1. 图①：
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$中点，所以$BD=CD$，$AD$垂直平分$BC$，根据等腰三角形的对称性，阴影部分的面积和等于$△ ABD$的面积，而$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S$，故阴影部分面积为$\frac{1}{2}S$。
2. 图②：
因为$AB = AC$，$∠ BAC = 60°$，所以$△ ABC$是等边三角形，又$AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，等边三角形的三条高所在直线是对称轴，根据对称性，阴影部分的面积和等于$△ ABD$的面积，即$\frac{1}{2}S$。
3. 图③：
连接$AD$，因为$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，$D$为$BC$中点，所以$AD=BD$，$∠ DAF=∠ DBE=45°$，$∠ ADB=90°$。
因为$∠ MDN = 90°$，所以$∠ ADF+∠ ADE=∠ BDE+∠ ADE=90°$，即$∠ ADF=∠ BDE$。
在$△ ADF$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ DAF=∠ DBE \\AD=BD \\∠ ADF=∠ BDE\end{cases}$
所以$△ ADF≌△ BDE$（ASA），则$S_{△ ADF}=S_{△ BDE}$，因此阴影部分的面积等于$△ ABD$的面积，即$\frac{1}{2}S$。
【答案】
三幅图中的阴影部分面积均为$\frac{1}{2}S$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题主要考查利用图形的对称性和全等三角形的面积相等来进行面积转化，解决此类面积问题的关键是找到面积相等的图形，将不规则或分散的阴影部分转化为规则的、易计算面积的图形。
【难度系数】
0.6
我们可以利用等腰（等边）三角形的对称性以及全等三角形的面积相等来转化阴影部分的面积：
1. 图①：AB=AC，AD是中线，所以AD是等腰△ABC的对称轴，阴影部分的多个三角形可以通过对称，将它们的面积和转化为△ABD的面积，而△ABD的面积是△ABC面积的一半；
2. 图②：AB=AC且∠BAC=60°，可知△ABC是等边三角形，三条高交于点O，等边三角形是轴对称图形，利用对称性可将阴影部分面积转化为△ABC面积的一半；
3. 图③：连接AD，由AB=AC，∠BAC=90°，D是BC中点，可得AD=BD，∠DAF=∠DBE=45°，结合∠MDN=90°可证△ADF≌△BDE，将阴影部分面积转化为△ABD的面积，即△ABC面积的一半。
【解析】
1. 图①：
因为$AB = AC$，点$D$是$BC$中点，所以$BD=CD$，$AD$垂直平分$BC$，根据等腰三角形的对称性，阴影部分的面积和等于$△ ABD$的面积，而$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S$，故阴影部分面积为$\frac{1}{2}S$。
2. 图②：
因为$AB = AC$，$∠ BAC = 60°$，所以$△ ABC$是等边三角形，又$AD⊥ BC$，$BE⊥ AC$，$CF⊥ AB$，等边三角形的三条高所在直线是对称轴，根据对称性，阴影部分的面积和等于$△ ABD$的面积，即$\frac{1}{2}S$。
3. 图③：
连接$AD$，因为$AB = AC$，$∠ BAC = 90°$，$D$为$BC$中点，所以$AD=BD$，$∠ DAF=∠ DBE=45°$，$∠ ADB=90°$。
因为$∠ MDN = 90°$，所以$∠ ADF+∠ ADE=∠ BDE+∠ ADE=90°$，即$∠ ADF=∠ BDE$。
在$△ ADF$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ DAF=∠ DBE \\AD=BD \\∠ ADF=∠ BDE\end{cases}$
所以$△ ADF≌△ BDE$（ASA），则$S_{△ ADF}=S_{△ BDE}$，因此阴影部分的面积等于$△ ABD$的面积，即$\frac{1}{2}S$。
【答案】
三幅图中的阴影部分面积均为$\frac{1}{2}S$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题主要考查利用图形的对称性和全等三角形的面积相等来进行面积转化，解决此类面积问题的关键是找到面积相等的图形，将不规则或分散的阴影部分转化为规则的、易计算面积的图形。
【难度系数】
0.6
如图，$ l_1 $ 表示草地的边界，$ l_2 $ 表示小河的河岸。在草地与河岸之间有两个村庄 A 和 B。一个牧童从 A 村庄赶了几只羊到草地 $ l_1 $ 放羊，然后再到小河 $ l_2 $ 饮水，最后再到村庄 B 处，请为他设计一条最短的路线，标明羊吃草的位置 M 与饮水的位置 N。
答案
解:如图所示.
解析
【分析】
要设计从A到草地$ l_1 $放羊，再到小河$ l_2 $饮水，最后到B的最短路线，可利用轴对称的性质将折线路径转化为直线路径：
1. 根据轴对称的性质，点到直线的对称点到直线上任意一点的距离等于原点点到该点的距离，所以作A关于$ l_1 $的对称点$ A' $，则$ AM=A'M $；作B关于$ l_2 $的对称点$ B' $，则$ NB=NB' $。
2. 此时$ AM+MN+NB $转化为$ A'M+MN+NB' $，根据“两点之间，线段最短”，连接$ A'B' $，与$ l_1 $、$ l_2 $的交点就是所求的M、N，这样的路径长度最短。
【解析】
具体步骤如下：
1. 作点A关于直线$ l_1 $的对称点$ A' $；
2. 作点B关于直线$ l_2 $的对称点$ B' $；
3. 连接$ A'B' $，分别交直线$ l_1 $于点M，交直线$ l_2 $于点N；
4. 连接AM、MN、NB，则牧童行走的最短路线为$ A \to M \to N \to B $，其中M为羊吃草的位置，N为饮水的位置。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径问题，核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为直线段，借助“两点之间线段最短”的原理求解，体现了转化的数学思想，需要灵活运用轴对称知识解决实际问题。
【难度系数】
0.3
要设计从A到草地$ l_1 $放羊，再到小河$ l_2 $饮水，最后到B的最短路线，可利用轴对称的性质将折线路径转化为直线路径：
1. 根据轴对称的性质，点到直线的对称点到直线上任意一点的距离等于原点点到该点的距离，所以作A关于$ l_1 $的对称点$ A' $，则$ AM=A'M $；作B关于$ l_2 $的对称点$ B' $，则$ NB=NB' $。
2. 此时$ AM+MN+NB $转化为$ A'M+MN+NB' $，根据“两点之间，线段最短”，连接$ A'B' $，与$ l_1 $、$ l_2 $的交点就是所求的M、N，这样的路径长度最短。
【解析】
具体步骤如下：
1. 作点A关于直线$ l_1 $的对称点$ A' $；
2. 作点B关于直线$ l_2 $的对称点$ B' $；
3. 连接$ A'B' $，分别交直线$ l_1 $于点M，交直线$ l_2 $于点N；
4. 连接AM、MN、NB，则牧童行走的最短路线为$ A \to M \to N \to B $，其中M为羊吃草的位置，N为饮水的位置。
【答案】
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径问题，核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为直线段，借助“两点之间线段最短”的原理求解，体现了转化的数学思想，需要灵活运用轴对称知识解决实际问题。
【难度系数】
0.3
