20. （8 分）如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 120^{\circ} $，$ ∠ B = 30^{\circ} $，$ AD ⊥ AB $，垂足为 $ A $，$ CD = 1 \mathrm{ cm} $.
（1）求 $ AB $ 的长；
（2）求 $ △ ABC $ 的面积.

20. (1) $AB=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$. (2) $\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$.

21. （8 分）如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ DAB = 30^{\circ} $，点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，$ DE ⊥ AB $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，$ DE = \sqrt{3} $，$ BC = 2 $，$ CD = 4 $.
（1）求 $ ∠ ABC $ 的度数.
（2）求 $ CE $ 的长.

21. (1) $∠ ABC=120°$; (2) $CE=\sqrt{19}$.

22. （8 分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，较短的一条直角边 $ BC = 1 $，且 $ △ ABC $ 是“有趣三角形”，求 $ △ ABC $ 的“有趣中线”的长.

22. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

23. （8 分）如图，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，$ AC = 12 $，$ BC = 5 $，求 $ BD $ 的长.

23. $BD=\frac{25}{13}$.

24. （8 分）如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (2,0) $，$ (0,2) $.
（1）求线段 $ AB $ 的长；
（2）若点 $ E $ 在 $ AB $ 上，$ OE ⊥ OF $，且 $ OE = OF $，求 $ AF + AE $ 的值；
（3）在第（2）问的条件下过 $ O $ 作 $ OM ⊥ EF $ 交 $ AB $ 于 $ M $，试确定线段 $ BE $，$ EM $，$ AM $ 的数量关系，并证明你的结论.

24. 解:(1) 由题意 $OA=OB=2$,$\therefore △ OAB$ 为等腰直角三角形,$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$.
(2) $\because OE ⊥ OF$,

$\therefore ∠ BOE=∠ AOF$,又$\because OB=OA,OE=OF$,$\therefore △ BOE ≌ △ AOF$,$\therefore BE=AF$,$\therefore AF+AE=BE+AE=AB=2\sqrt{2}$.
(3) 线段 $BE,EM,AM$ 的数量关系为:$AM^2+BE^2=EM^2$. 理由如下:连接 $MF$,如图,$\because OE ⊥ OF$,且 $OE=OF$,$\therefore △ OEF$ 为等腰直角三角形.$\because OM ⊥ EF$,$\therefore OM$ 为 $EF$ 的垂直平分线,$\therefore MF=ME$.又$\because △ BOE ≌ △ AOF$,$\therefore ∠ OAF=∠ OBE=45°$,
$\therefore ∠ FAM=90°$,$\therefore AM^2+AF^2=MF^2$,$\therefore AM^2+BE^2=ME^2$.