1. 二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$.

1. $\sqrt{\dfrac{a}{b}}(a≥ 0,b＞0)$

2. 分母有理化：分母形如$a\sqrt{x}$的二次根式，可分子、分母同时乘.

2. $\sqrt{x}$

3. 商的算术平方根法则：$\sqrt{\frac{a}{b}} =$.

3. $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥ 0,b＞0)$

4. 最简二次根式：
(1)被开方数不含，也就是被开方数是整数或者是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.

4. (1) 分母

1. 式子$\sqrt{\frac{1 - x}{x}} =\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}}$成立的条件是()

A.$x ＜ 1$且$x ≠ 0$
B.$x ＞ 0$且$x ≠ 1$
C.$0 ＜ x ≤ 1$
D.$0 ＜ x ＜ 1$

1. C

要使式子$\sqrt{\frac{1 - x}{x}}=\frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}}$成立，需满足：
分母$x＞0$；
被开方数$1 - x≥0$，即$x≤1$。
综上，$0 ＜ x≤1$。
C

2. 有下列算式：
①$\frac{\sqrt{(-4)^2ab}}{\sqrt{4ab}} = - 4$；
②$\frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{5^2 - 3^2}} = 1\frac{1}{4}$；
③$\frac{28x}{\sqrt{7x}} = 4\sqrt{x}$；
④$\frac{\sqrt{(b - a)^2}}{\sqrt{a - b}} =\sqrt{a - b}(a ＞ b)$.
其中正确的是()

A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

2. B

①$\frac{\sqrt{(-4)^2ab}}{\sqrt{4ab}}=\frac{\sqrt{16ab}}{\sqrt{4ab}}=\sqrt{\frac{16ab}{4ab}}=\sqrt{4}=2≠-4$，错误；
②$\frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{\sqrt{5^2 - 3^2}}=\frac{\sqrt{9 + 16}}{\sqrt{25 - 9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$，正确；
③$\frac{28x}{\sqrt{7x}}=\frac{28x\sqrt{7x}}{7x}=4\sqrt{7x}≠4\sqrt{x}$，错误；
④$\frac{\sqrt{(b - a)^2}}{\sqrt{a - b}}=\frac{\vert b - a\vert}{\sqrt{a - b}}=\frac{a - b}{\sqrt{a - b}}=\sqrt{a - b}(a＞b)$，正确。
正确的是②④，答案选B。

3. 下列根式中，化简正确的是()

A.$\sqrt{36a} × \sqrt{a} = 6a$
B.$\sqrt{7a^2} = a\sqrt{7a}$
C.$\sqrt{5a^2b^3} = ab\sqrt{5}$
D.$\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$

3. A

A.$\sqrt{36a} × \sqrt{a} = \sqrt{36a · a} = \sqrt{36a^2} = 6a$，正确；
B.$\sqrt{7a^2} = |a|\sqrt{7}$，错误；
C.$\sqrt{5a^2b^3} = ab\sqrt{5b}$，错误；
D.$\sqrt{a^2 + b^2}$不能化简为$a + b$，错误。
答案：A

4. 计算：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} =$；$\frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}} =$.

4. 2 2

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$；$\frac{\sqrt{4a}}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{4a}{a}}=\sqrt{4}=2$

5. 化简二次根式$(x - 2)\sqrt{\frac{1}{2 - x}}$的结果为.

5. $-\sqrt{2-x}$

要使二次根式有意义，则$\frac{1}{2 - x} ≥ 0$，且$2 - x ≠ 0$，所以$2 - x ＞ 0$，即$x ＜ 2$，则$x - 2 ＜ 0$。
$\begin{aligned}(x - 2)\sqrt{\frac{1}{2 - x}}&=(x - 2)\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 - x}}\\&=(x - 2)\frac{1}{\sqrt{2 - x}}\\&=(x - 2)\frac{\sqrt{2 - x}}{(\sqrt{2 - x})^2}\\&=(x - 2)\frac{\sqrt{2 - x}}{2 - x}\\&=-(2 - x)\frac{\sqrt{2 - x}}{2 - x}\\&=-\sqrt{2 - x}\end{aligned}$
$-\sqrt{2 - x}$

6. 计算：
(1)$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} =$；
(2)$35\sqrt{90} ÷ 7\sqrt{10} =$；
(3)$\sqrt{1\frac{3}{7}} ÷ \frac{2}{3}\sqrt{2\frac{1}{10}} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$；
(4)$\frac{\sqrt{48x^7y^6}}{\sqrt{3x^2y^3}} =\_\_\_\_\_\_(x ＞ 0,y ＞ 0)$.

6. (1) 4 (2) 15 (3) $\dfrac{5}{7}$ (4) $4x^{2}y\sqrt{xy}$

(1) $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{80}{5}}=\sqrt{16}=4$；
(2) $35\sqrt{90}÷7\sqrt{10}=(35÷7)×\sqrt{\frac{90}{10}}=5×\sqrt{9}=5×3=15$；
(3) $\sqrt{1\frac{3}{7}}÷\frac{2}{3}\sqrt{2\frac{1}{10}}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{10}{7}}÷(\frac{2}{3}\sqrt{\frac{21}{10}})×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{10}{7}}×\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{10}{21}}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{10}{7}×\frac{10}{21}×\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}×\sqrt{\frac{100}{441}}=\frac{3}{2}×\frac{10}{21}=\frac{5}{7}$；
(4) $\frac{\sqrt{48x^7y^6}}{\sqrt{3x^2y^3}}=\sqrt{\frac{48x^7y^6}{3x^2y^3}}=\sqrt{16x^5y^3}=4x^2y\sqrt{xy}$