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例 1 如图 8 - 22，在△ABC 中，∠BAC = 120°，以 BC 为边向外作等边三角形 BCD，把△ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60°得到△ECD. 已知 AB = 3，AC = 2，求∠BAD 的度数和 AD 的长.
答案
解：
1. 证明△ADE为等边三角形
由旋转性质，△ABD≌△ECD，得AD=ED，∠ADE=60°（旋转角）。
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），故AD=AE，∠DAE=60°。
2. 证明E、C、A三点共线
∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°。
由△ABD≌△ECD，得∠ABD=∠ECD。
在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°。
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ABC+60°，
∴∠ECD=∠ABC+60°。
又∠DCB=∠DCA+∠ACB=60°，得∠DCA=60°-∠ACB。
∴∠ECA=∠ECD-∠DCA=（∠ABC+60°）-（60°-∠ACB）=∠ABC+∠ACB=60°。
∵∠BAC=120°，∴∠BAC+∠ECA=180°，故E、C、A三点共线。
3. 计算AD的长
∵E、C、A共线，∴AE=AC+CE。
由△ABD≌△ECD，得CE=AB=3。
∵AC=2，∴AE=AC+CE=2+3=5。
∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE=5。
4. 计算∠BAD的度数
∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°。
∵E、C、A共线，∴∠DAC=∠DAE=60°。
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-60°=60°。
结论：∠BAD=60°，AD=5。
1. 证明△ADE为等边三角形
由旋转性质，△ABD≌△ECD，得AD=ED，∠ADE=60°（旋转角）。
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），故AD=AE，∠DAE=60°。
2. 证明E、C、A三点共线
∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°。
由△ABD≌△ECD，得∠ABD=∠ECD。
在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°。
∵∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ABC+60°，
∴∠ECD=∠ABC+60°。
又∠DCB=∠DCA+∠ACB=60°，得∠DCA=60°-∠ACB。
∴∠ECA=∠ECD-∠DCA=（∠ABC+60°）-（60°-∠ACB）=∠ABC+∠ACB=60°。
∵∠BAC=120°，∴∠BAC+∠ECA=180°，故E、C、A三点共线。
3. 计算AD的长
∵E、C、A共线，∴AE=AC+CE。
由△ABD≌△ECD，得CE=AB=3。
∵AC=2，∴AE=AC+CE=2+3=5。
∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE=5。
4. 计算∠BAD的度数
∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°。
∵E、C、A共线，∴∠DAC=∠DAE=60°。
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-60°=60°。
结论：∠BAD=60°，AD=5。
例 2 如图 8 - 23，在△ABC 中，P，M，Q 分别是 AB，BC，CA 的中点.
(1) 求证：四边形 APMQ 是平行四边形.
(2) 当△ABC 满足什么条件时，四边形 APMQ 为菱形？证明你的结论.
(1) 求证：四边形 APMQ 是平行四边形.
(2) 当△ABC 满足什么条件时，四边形 APMQ 为菱形？证明你的结论.
答案
(1) 证明：∵P，M，Q分别是AB，BC，CA的中点，
∴PM是△ABC的中位线，QM是△ABC的中位线，
∴PM//AC，PM=1/2AC，QM//AB，QM=1/2AB，
∵Q是CA的中点，∴AQ=1/2AC，
∵P是AB的中点，∴AP=1/2AB，
∴PM=AQ，QM=AP，
∴四边形APMQ是平行四边形.
(2) 当AB=AC时，四边形APMQ为菱形.
证明：∵AB=AC，P，Q分别是AB，CA的中点，
∴AP=1/2AB，AQ=1/2AC，
∴AP=AQ，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ为菱形.
∴PM是△ABC的中位线，QM是△ABC的中位线，
∴PM//AC，PM=1/2AC，QM//AB，QM=1/2AB，
∵Q是CA的中点，∴AQ=1/2AC，
∵P是AB的中点，∴AP=1/2AB，
∴PM=AQ，QM=AP，
∴四边形APMQ是平行四边形.
(2) 当AB=AC时，四边形APMQ为菱形.
证明：∵AB=AC，P，Q分别是AB，CA的中点，
∴AP=1/2AB，AQ=1/2AC，
∴AP=AQ，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴平行四边形APMQ为菱形.
(1) 下列说法中，错误的是().
A.矩形的对角线相等
B.正方形的对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
A.矩形的对角线相等
B.正方形的对角线互相垂直平分
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形
答案
C
解析
A选项矩形的性质对角线相等，正确；
B选项正方形的对角线性质互相垂直平分，正确；
C选项对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如可以是一个一般四边形，对角线垂直但不等长，不满足菱形定义，错误；
D选项对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
因此错误的是C选项。
B选项正方形的对角线性质互相垂直平分，正确；
C选项对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，例如可以是一个一般四边形，对角线垂直但不等长，不满足菱形定义，错误；
D选项对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
因此错误的是C选项。
(2) 如图，AC，BD 是矩形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE//AC，交 BC 的延长线于点 E，图中与△ABC 全等的三角形共有().
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
D
解析
在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，对角线AC=BD。
1. △ADC：AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC=90°，由SAS得△ABC≌△CDA；
2. △ABD：AB=AB，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，由SAS得△ABC≌△BAD；
3. △BCD：AB=CD，BC=BC，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS得△ABC≌△DCB；
4. △DCE：DE//AC，AD//BE，四边形ACED为平行四边形，故AD=CE=BC，CD=AB，∠DCE=90°，由SAS得△ABC≌△DCE。
综上，共有4个全等三角形。
1. △ADC：AB=CD，BC=AD，∠ABC=∠ADC=90°，由SAS得△ABC≌△CDA；
2. △ABD：AB=AB，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，由SAS得△ABC≌△BAD；
3. △BCD：AB=CD，BC=BC，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS得△ABC≌△DCB；
4. △DCE：DE//AC，AD//BE，四边形ACED为平行四边形，故AD=CE=BC，CD=AB，∠DCE=90°，由SAS得△ABC≌△DCE。
综上，共有4个全等三角形。
(3) 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，E，F 分别是边 AB，BC 的中点，点 P 在 AC 上运动，在运动过程中，存在 PE + PF 的最小值，这个最小值是().
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
以菱形对角线交点O为原点，AC为x轴，BD为y轴建立坐标系。则A(-3,0)，C(3,0)，B(0,4)，D(0,-4)。E为AB中点，坐标(-1.5,2)；F为BC中点，坐标(1.5,2)。点P在AC(x轴)上，求PE+PF最小值。作E关于x轴对称点E''(-1.5,-2)，连接E''F，交x轴于P，此时PE+PF=E''F。由两点距离公式得E''F=√[(1.5+1.5)²+(2+2)²]=√(3²+4²)=5。
(4) 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，AB = 8，CD = 24，∠C = 30°，∠D = 60°，则 AD 的长是().
A.6
B.8
C.5
D.10
A.6
B.8
C.5
D.10
答案
B
解析
过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，则AE=BF，EF=AB=8。设AD=m，在Rt△ADE中，∠D=60°，则DE=AD·cos60°=0.5m，AE=AD·sin60°=(√3/2)m。CD=24，故FC=24-8-0.5m=16-0.5m。在Rt△BCF中，∠C=30°，BF=AE=(√3/2)m，BC=BF/sin30°=√3m，FC=BC·cos30°= (√3m)·(√3/2)=1.5m。由1.5m=16-0.5m，解得m=8，即AD=8。
