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3. 如图，已知梯形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$∠ B = 50^{\circ}$，$∠ C = 80^{\circ}$，$AD = 4$，$DC = 6$，求 $BC$ 长。
答案
10
解析
过点D作DE//AB交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=4，∠DEC=∠B=50°。
在△DEC中，∠C=80°，∠DEC=50°，∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=50°。
∴∠EDC=∠DEC，∴EC=DC=6。
∴BC=BE+EC=4+6=10。
∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=4，∠DEC=∠B=50°。
在△DEC中，∠C=80°，∠DEC=50°，∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=50°。
∴∠EDC=∠DEC，∴EC=DC=6。
∴BC=BE+EC=4+6=10。
4. 如图，$△ ABC$ 中，$AB = AC$，$D$，$E$ 分别在 $AB$，$AC$ 上，且 $DE // BC$。求证：四边形 $DBCE$ 是等腰梯形。
答案
四边形DBCE是等腰梯形。
解析
∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）。
∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE（等角对等边）。
∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即DB=EC。
∵DE//BC，DB与EC不平行（否则四边形DBCE是平行四边形，与DB=EC且DE//BC矛盾），
∴四边形DBCE是梯形。
∵DB=EC，∴梯形DBCE是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。
∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE（等角对等边）。
∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即DB=EC。
∵DE//BC，DB与EC不平行（否则四边形DBCE是平行四边形，与DB=EC且DE//BC矛盾），
∴四边形DBCE是梯形。
∵DB=EC，∴梯形DBCE是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形）。
5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$DE$ 是直角边 $AB$ 的垂直平分线，$∠ DBA = ∠ ABC$，连接 $AD$。求证：
(1)四边形 $ADBC$ 是梯形；
(2)$AD = \frac{1}{2}BC$。
(1)四边形 $ADBC$ 是梯形；
(2)$AD = \frac{1}{2}BC$。
答案
（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠DBA。
∵∠DBA=∠ABC，∴∠DAB=∠ABC，∴AD//BC。
∵∠BAC=90°，DE⊥AB，∴AC⊥AB，DE⊥AB，∴AC//DE。
∵D在DE上，∴DB与AC不平行，∴四边形ADBC是梯形。
（2）设E为AB中点，则AE=EB=1/2AB。
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=∠ABC=α，∴cosα=AE/AD，∴AD=AE/cosα= (1/2AB)/cosα。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosα=AB/BC，∴BC=AB/cosα。
∴AD=1/2BC。
∵∠DBA=∠ABC，∴∠DAB=∠ABC，∴AD//BC。
∵∠BAC=90°，DE⊥AB，∴AC⊥AB，DE⊥AB，∴AC//DE。
∵D在DE上，∴DB与AC不平行，∴四边形ADBC是梯形。
（2）设E为AB中点，则AE=EB=1/2AB。
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=∠ABC=α，∴cosα=AE/AD，∴AD=AE/cosα= (1/2AB)/cosα。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosα=AB/BC，∴BC=AB/cosα。
∴AD=1/2BC。
6. 如图，在直角梯形纸片 $ABCD$ 中，$AB // DC$，$∠ A = 90^{\circ}$，$CD ＞ AD$，将纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $CD$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $DF$。连接 $EF$ 并展开纸片。
(1)判断四边形 $ADEF$ 的形状，并证明。
(2)取线段 $AF$ 的中点 $G$，连接 $EG$，$DG$，如果 $DG // CB$，证明：四边形 $GBCE$ 是等腰梯形。
(1)判断四边形 $ADEF$ 的形状，并证明。
(2)取线段 $AF$ 的中点 $G$，连接 $EG$，$DG$，如果 $DG // CB$，证明：四边形 $GBCE$ 是等腰梯形。
答案
(1) 四边形ADEF是正方形。证明：由折叠性质得DA=DE，∠DEF=∠A=90°。∵AB//DC，∠A=90°，∴AD⊥AB，又AB//DC，∴AD⊥DC，即∠ADE=90°。∴四边形ADEF有三个内角为90°，是矩形。又DA=DE，∴矩形ADEF是正方形。
(2) 证明：∵ADEF是正方形，设AD=AF=EF=DE=a，G为AF中点，∴AG=GF=a/2。在Rt△ADG中，DG=√(AD²+AG²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2。过C作CH⊥AB于H，∵ABCD是直角梯形，∠A=90°，∴CH=AD=a，四边形ADCH是矩形，CH=AD=a，AH=CD。∵DG//CB，∴∠AGD=∠B，tan∠AGD=AD/AG=a/(a/2)=2，∴tan∠B=CH/HB=a/HB=2，∴HB=a/2。在Rt△CHB中，CB=√(CH²+HB²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2，∴DG=CB。∵DG//CB，∴四边形DGBC是平行四边形，∴DC=GB。∵DC=DE+EC=a+EC，GB=AB-AG=AF+FB-AG=a+FB-a/2=FB+a/2，∴a+EC=FB+a/2，即FB=EC+a/2。在Rt△EFG中，EG=√(EF²+GF²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2，∴EG=CB。∵AB//DC，即GB//EC，且EG=CB，∴四边形GBCE是等腰梯形。
(2) 证明：∵ADEF是正方形，设AD=AF=EF=DE=a，G为AF中点，∴AG=GF=a/2。在Rt△ADG中，DG=√(AD²+AG²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2。过C作CH⊥AB于H，∵ABCD是直角梯形，∠A=90°，∴CH=AD=a，四边形ADCH是矩形，CH=AD=a，AH=CD。∵DG//CB，∴∠AGD=∠B，tan∠AGD=AD/AG=a/(a/2)=2，∴tan∠B=CH/HB=a/HB=2，∴HB=a/2。在Rt△CHB中，CB=√(CH²+HB²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2，∴DG=CB。∵DG//CB，∴四边形DGBC是平行四边形，∴DC=GB。∵DC=DE+EC=a+EC，GB=AB-AG=AF+FB-AG=a+FB-a/2=FB+a/2，∴a+EC=FB+a/2，即FB=EC+a/2。在Rt△EFG中，EG=√(EF²+GF²)=√(a²+(a/2)²)=(√5a)/2，∴EG=CB。∵AB//DC，即GB//EC，且EG=CB，∴四边形GBCE是等腰梯形。
7. 用文字语言写出等腰梯形的一条性质，画出相应图形，并证明该性质(写明已知、求证)。
答案
性质：等腰梯形同一底上的两个角相等。
图形：（此处应画出等腰梯形ABCD，AD//BC，AB=CD，标注∠B和∠C为同一底上的两个角）
已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD。
求证：∠B=∠C。
证明：过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE。
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C。
∵DE//AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C。
图形：（此处应画出等腰梯形ABCD，AD//BC，AB=CD，标注∠B和∠C为同一底上的两个角）
已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD。
求证：∠B=∠C。
证明：过点D作DE//AB，交BC于点E。
∵AD//BC，DE//AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE。
∵AB=CD，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠C。
∵DE//AB，
∴∠B=∠DEC，
∴∠B=∠C。
