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二、填空题(每小题 6 分,共 24 分)
9. 若方程组 $\begin{cases}y - x = 5, \\ y + (a - 5)xy = 3\end{cases}$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程组,则 $a$ 的值是 ______ 。
9. 若方程组 $\begin{cases}y - x = 5, \\ y + (a - 5)xy = 3\end{cases}$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程组,则 $a$ 的值是 ______ 。
答案
9. 5
10. 一本书上写着方程组 $\begin{cases}x + py = 0, \\ x + y = 1\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 0.5, \\ y = ▲,\end{cases}$ 其中 $y$ 的值被墨渍盖住了,不过仍能求出 $p =$ ______ 。
答案
10. -1
11. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为 7,若把十位上的数字和个位上的数字交换位置,所得的数比原数大 9,则原来的两位数是
34
。答案
11. 34
12. 若 $2a + 5b + 4c = 0,3a + b - 7c = 0$,则 $a + b - c$ 的值是
0
。答案
12. 0 【解析】由$\{\begin{array}{l} 2a + 5b + 4c = 0,\\ 3a + b - 7c = 0,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} a = 3c,\\ b = -2c,\end{array} $
所以$a + b - c = 3c - 2c - c = 0$。
解得$\{\begin{array}{l} a = 3c,\\ b = -2c,\end{array} $
所以$a + b - c = 3c - 2c - c = 0$。
三、解答题(共 28 分)
13. (8 分)解下列方程组。
(1) $\begin{cases}2x + y = 1, \\ 2x - y = 3。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 3y = 4, \\ 2x - 6y = 11。\end{cases}$
13. (8 分)解下列方程组。
(1) $\begin{cases}2x + y = 1, \\ 2x - y = 3。\end{cases}$
(2) $\begin{cases}4x - 3y = 4, \\ 2x - 6y = 11。\end{cases}$
答案
13. 解：(1)$\{\begin{array}{l} 2x + y = 1①,\\ 2x - y = 3②,\end{array} $
$① + ②$，得$4x = 4$，解得$x = 1$。
$① - ②$，得$2y = -2$，解得$y = -1$，
则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = -1。\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} 4x - 3y = 4①,\\ 2x - 6y = 11②,\end{array} $
$①×2 - ②$，得$6x = -3$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
把$x = -\frac{1}{2}$代入$①$，得$y = -2$，
则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x = -\frac{1}{2},\\ y = -2。\end{array} $
$① + ②$，得$4x = 4$，解得$x = 1$。
$① - ②$，得$2y = -2$，解得$y = -1$，
则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x = 1,\\ y = -1。\end{array} $
(2)$\{\begin{array}{l} 4x - 3y = 4①,\\ 2x - 6y = 11②,\end{array} $
$①×2 - ②$，得$6x = -3$，解得$x = -\frac{1}{2}$。
把$x = -\frac{1}{2}$代入$①$，得$y = -2$，
则原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x = -\frac{1}{2},\\ y = -2。\end{array} $
14. (10 分)已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}(a - 1)x + y = 5, \\ x + y = b,\end{cases}$ 当 $a,b$ 满足什么条件时,方程组有唯一解、有无数组解、无解?
答案
14. 解：记$(a - 1)x + y = 5$为$①$式，$x + y = b$为$②$式，由$① - ②$得$(a - 2)x = 5 - b$。
当方程组有唯一解时，$a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$，所以当$a ≠ 2$时，方程组有唯一解；
当方程组有无数组解时，$\{\begin{array}{l} a - 2 = 0,\\ 5 - b = 0,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 5,\end{array} $
所以当$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 5\end{array} $时，方程组有无数组解；
当方程组无解时，$\{\begin{array}{l} a - 2 = 0,\\ 5 - b ≠ 0,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b ≠ 5,\end{array} $
所以当$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b ≠ 5\end{array} $时，方程组无解。
当方程组有唯一解时，$a - 2 ≠ 0$，解得$a ≠ 2$，所以当$a ≠ 2$时，方程组有唯一解；
当方程组有无数组解时，$\{\begin{array}{l} a - 2 = 0,\\ 5 - b = 0,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 5,\end{array} $
所以当$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b = 5\end{array} $时，方程组有无数组解；
当方程组无解时，$\{\begin{array}{l} a - 2 = 0,\\ 5 - b ≠ 0,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b ≠ 5,\end{array} $
所以当$\{\begin{array}{l} a = 2,\\ b ≠ 5\end{array} $时，方程组无解。
15. (10 分)为了保护学生的视力,课桌和椅子的高度都是按一定的比例配套设计的。研究表明:假设课桌的高度为 $y$ cm,椅子的高度(含靠背)为 $x$ cm,则 $y$ 与 $x$ 之间应存在 $y = kx + b$ 的关系。下面列出了两套符合条件的课桌和椅子的高度:
(1)试确定 $y$ 与 $x$ 的关系式。
(2)当椅子的高度为 43 cm 时,课桌的高度是多少呢?
(1)试确定 $y$ 与 $x$ 的关系式。
(2)当椅子的高度为 43 cm 时,课桌的高度是多少呢?
答案
15. 解：(1)把$x = 40$，$y = 75$和$x = 37$，$y = 70.2$代入$y = kx + b$中，
得$\{\begin{array}{l} 40k + b = 75,\\ 37k + b = 70.2,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} k = 1.6,\\ b = 11,\end{array} $
所以$y = 1.6x + 11$。
(2)把$x = 43$代入$y = 1.6x + 11$，
得$y = 1.6×43 + 11 = 79.8$。
答：当椅子的高度为$43cm$时，课桌的高度是$79.8cm$。
得$\{\begin{array}{l} 40k + b = 75,\\ 37k + b = 70.2,\end{array} $
解得$\{\begin{array}{l} k = 1.6,\\ b = 11,\end{array} $
所以$y = 1.6x + 11$。
(2)把$x = 43$代入$y = 1.6x + 11$，
得$y = 1.6×43 + 11 = 79.8$。
答：当椅子的高度为$43cm$时，课桌的高度是$79.8cm$。
