8. 正比例函数$y = 6x$的图像与反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图像的交点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第一、三象限

D

9. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上有一点$P(2,n)$，将点$P$先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点$Q$.若点$Q$也在该函数的图像上，则$k$的值为_______.

6

10. 已知点$P(m,n)$在直线$y = - x + 2$上，也在双曲线$y=-\frac{1}{x}$上，则$m^{2}+n^{2}$的值为_______.

6

11. 如图，点$A、D$分别在函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$、$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像上，点$B、C$在$x$轴上.若四边形$ABCD$为正方形，点$D$在第一象限，则点$D$的坐标为_______.

(2,3) 解析：设点 A 的纵坐标为 n，则点 D 的纵坐标为 n. ∴ 点 A、D 的坐标分别为 $(-\frac{3}{n},n)$、$(\frac{6}{n},n)$，∴ BC = $\frac{6}{n}$ - $(-\frac{3}{n})$ = $\frac{9}{n}$，CD = n. 根据正方形的边长相等，得 $\frac{9}{n}$ = n，解得 n = 3(负值舍去). ∴ 点 D 的坐标为(2,3).

12.（2024·常州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图像与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图像相交于点$A(－1,n)$、$B(2,1)$.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接$OA、OB$，求$\triangle OAB$的面积.

(1) ∵ 一次函数 y = kx + b 的图像与反比例函数 y = $\frac{m}{x}$ 的图像相交于点 A(-1,n)、B(2,1)，∴ m = -n = 2×1. ∴ m = 2，n = -2. ∴ 反比例函数的表达式为 y = $\frac{2}{x}$，点 A 的坐标为(-1,-2). 将 A(-1,-2)、B(2,1)代入 y = kx + b，得 $\begin{cases}-k + b = -2 \\ 2k + b = 1 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = 1 \\ b = -1 \end{cases}$. ∴ 一次函数的表达式为 y = x - 1
(2) 设直线 AB 与 x 轴的交点为 C. 在 y = x - 1 中，当 y = 0 时，x = 1. ∴ C(1,0)，即 OC = 1. ∴ $S_{\triangle OAB}$ = $S_{\triangle BOC}$ + $S_{\triangle AOC}$ = $\frac{1}{2}$×1×1 + $\frac{1}{2}$×1×2 = $\frac{3}{2}$

13.（2024·临夏）如图，一次函数$y = kx$与反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图像相交于$A、B$两点，点$A$的坐标为$(a,2)$.
（1）求$a、k$的值.
（2）将直线$y = kx$向上平移$m(m＞0)$个单位长度，与双曲线$y=-\frac{4}{x}$在第二象限的一支交于点$C$，与$x$轴交于点$E$，与$y$轴交于点$P$.若$PE = PC$，求$m$的值.

(1) ∵ 点 A(a,2)在反比例函数 y = -$\frac{4}{x}$ 的图像上，∴ 2 = -$\frac{4}{a}$. ∴ a = -2. 将 A(-2,2)代入 y = kx，得 2 = -2k，解得 k = -1
(2) 过点 C 作 CF ⊥ y 轴于点 F，则 CF // OE. ∴ ∠FCP = ∠OEP，∠CFP = ∠EOP. ∵ PC = PE，∴ $\triangle CFP\cong\triangle EOP$. ∴ CF = EO，PF = PO. ∵ 将直线 y = -x 向上平移 m 个单位长度得到直线 y = -x + m，令 x = 0，得 y = m，令 y = 0，得 x = m，∴ E(m,0)，P(0,m). ∴ CF = EO = m，PF = PO = m. ∴ C(-m,2m). ∵ 反比例函数 y = -$\frac{4}{x}$ 的图像过点 C，∴ -m·2m = -4，解得 m = $\sqrt{2}$ 或 m = -$\sqrt{2}$(不合题意，舍去). ∴ m 的值为 $\sqrt{2}$