5. 若直线 $ y = x + 1 $ 与 $ y = -2x + a $ 的交点在第一象限，则 $ a $ 的值可以是。

联立两直线方程：$\begin{cases}y = x + 1,\\y = - 2x + a.\end{cases}$
将$y = x + 1$代入$y = - 2x + a$，得：
$x + 1 = - 2x + a$，
$3x = a - 1$，
$x = \frac{a - 1}{3}$，
将$x = \frac{a - 1}{3}$代入$y = x + 1$，得：
$y = \frac{a - 1}{3} + 1 = \frac{a + 2}{3}$，
所以交点坐标为$( \frac{a - 1}{3},\frac{a + 2}{3} )$。
由于交点在第一象限，所以：
$\frac{a - 1}{3} ＞ 0$，
$\frac{a + 2}{3} ＞ 0$，
解第一个不等式，得：
$a - 1 ＞ 0$，
$a ＞ 1$，
解第二个不等式，得：
$a + 2 ＞ 0$，
$a ＞ -2$，
由于$a ＞ 1$已经包含了$a ＞ -2$的所有情况，所以只需考虑$a ＞ 1$。
$a$的值可以是$2$（答案不唯一，$a＞1$均可）。

6. 若点 $ P(m,n) $ 在直线 $ y = -\frac{3}{4}x + 4 $ 上，且 $ \begin{cases}x = m, \\ y = n\end{cases}$ 是方程 $ 5x - 6y = 33 $ 的一个解，则点 $ P $ 在第 ______ 象限。

因为点$P(m,n)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 4$上，
所以$n = -\frac{3}{4}m + 4$。
因为$\begin{cases}x = m, \\ y = n\end{cases}$是方程$5x - 6y = 33$的一个解，
代入得：
$5m - 6n = 33$
将$n = -\frac{3}{4}m + 4$代入$5m - 6n = 33$，得：
$5m - 6(-\frac{3}{4}m + 4) = 33$
$5m + \frac{18}{4}m - 24 = 33$
$5m + \frac{9}{2}m = 57$
$\frac{10}{2}m + \frac{9}{2}m = 57$
$\frac{19}{2}m = 57$
$m = 6$
将$m = 6$代入$n = -\frac{3}{4}m + 4$，得：
$n = -\frac{3}{4} × 6 + 4$
$n = -\frac{18}{4} + 4$
$n = -\frac{18}{4} + \frac{16}{4}$
$n = -\frac{2}{4}$
$n = -\frac{1}{2}$
所以，点$P$的坐标为$(6, -\frac{1}{2})$，位于第四象限。
故答案为：四。

7. 《算学启蒙》中有这样一道题：今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马何日追及之。已知这两匹马行走的路程 $ s $(单位：里)关于行走时间 $ t $(单位：日)的函数图象如图所示，则图象交点 $ P $ 的坐标是。(里是一种古代长度单位)

$(20, 4800)$

设良马行走的时间为$ t $日，则驽马行走的时间为$ (t + 12) $日。
良马行走的路程$ s_1 = 240t $，
驽马行走的路程$ s_2 = 150(t + 12) $。
令$ s_1 = s_2 $，得$ 240t = 150(t + 12) $，
$ 240t = 150t + 1800 $，
$ 90t = 1800 $，
$ t = 20 $。
当$ t = 20 $时，$ s = 240×20 = 4800 $。
所以交点$ P $的坐标是$ (20, 4800) $。

8. 如图，直线 $ l_1: y = x + 1 $ 与直线 $ l_2: y = mx + n $ 相交于点 $ P(1,b) $。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)直接写出关于 $ x $ 的方程组 $ \begin{cases} y = x + 1, \\ y = mx + n \end{cases} $ 的解。
(3)直线 $ l_3: y = nx + m $ 是否也经过点 $ P $？请说明理由。

(1)
因为点$P(1,b)$在直线$l_1:y = x + 1$上，
将$x = 1$代入$y=x + 1$，得$y=1 + 1=2$，
所以$b = 2$。
(2)
因为两直线$y=x + 1$与$y = mx + n$相交于点$P(1,2)$，
所以方程组$\begin{cases}y = x + 1\\y = mx + n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$。
(3)
经过。
理由：因为点$P(1,2)$，当$x = 1$时，$y=n×1 + m=m + n$，
由方程组$\begin{cases}y=x + 1\\y=mx + n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$，把$\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}$代入$y=mx + n$得$m + n=2$，
把$x = 1$代入$y=nx + m$得$y=m + n = 2$，
所以直线$l_3:y=nx + m$经过点$P$。