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4. 如图，一束光水平照射在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为 $ 60 ^ { \circ } $，则平面镜的垂线与水平地面的夹角 $ \alpha $ 的余弦值为.
答案
$\frac {\sqrt{3}}{2}$
5. 计算：
(1) $ 2 \cos 30 ^ { \circ } + \tan 60 ^ { \circ } - 2 \tan 45 ^ { \circ } $； (2) $ \sin ^ { 2 } 45 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 60 ^ { \circ } $；
(3) $ \sin ^ { 2 } 30 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 30 ^ { \circ } + \frac { \tan ^ { 2 } 60 ^ { \circ } } { \tan 30 ^ { \circ } } $.
(1) $ 2 \cos 30 ^ { \circ } + \tan 60 ^ { \circ } - 2 \tan 45 ^ { \circ } $； (2) $ \sin ^ { 2 } 45 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 60 ^ { \circ } $；
(3) $ \sin ^ { 2 } 30 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 30 ^ { \circ } + \frac { \tan ^ { 2 } 60 ^ { \circ } } { \tan 30 ^ { \circ } } $.
答案
解：原式$=2×\frac {\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-2×1$
$ =\sqrt{3}+\sqrt{3}-2$
$ =2\sqrt{3}-2$
解：原式$=(\frac {\sqrt{2}}{2})²+(\frac {1}{2})²$
$ =\frac {1}{2}+\frac {1}{4}$
$ =\frac {3}{4}$
解：原式$=(\frac {1}{2})²+(\frac {\sqrt{3}}{2})²+\frac {(\sqrt{3})²}{\frac {\sqrt{3}}{3}}$
$ =1+3×\sqrt{3}$
$ =1+3\sqrt{3}$
$ =\sqrt{3}+\sqrt{3}-2$
$ =2\sqrt{3}-2$
解：原式$=(\frac {\sqrt{2}}{2})²+(\frac {1}{2})²$
$ =\frac {1}{2}+\frac {1}{4}$
$ =\frac {3}{4}$
解：原式$=(\frac {1}{2})²+(\frac {\sqrt{3}}{2})²+\frac {(\sqrt{3})²}{\frac {\sqrt{3}}{3}}$
$ =1+3×\sqrt{3}$
$ =1+3\sqrt{3}$
6. 如图，以点 $ O $ 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 $ O M $ 交于点 $ A $，再以点 $ A $ 为圆心，$ A O $ 长为半径画弧，两弧交于点 $ B $，画射线 $ O B $，求 $ \tan \angle A O B $ 的值.
答案
解：由题意得，OA=OB=AB
因为OA=OB=AB
所以△ABC是等边三角形
所以∠AOB= 60°
所以$tan∠AOB=\sqrt{3}$
因为OA=OB=AB
所以△ABC是等边三角形
所以∠AOB= 60°
所以$tan∠AOB=\sqrt{3}$
7. 如图，甲施工队沿 $ A B $ 方向在一湖泊上架桥修路，为加快施工进度，乙施工队在湖另一边的点 $ D $ 处同时施工. 已知点 $ D $ 在直线 $ A B $ 上，且在点 $ C $ 处测得 $ \angle A B C = 150 ^ { \circ } $，$ B C = 1 600 \mathrm { m } $，$ \angle B C D = 105 ^ { \circ } $，求 $ B $、$ D $ 两点的距离.
答案
解：过点C作CE⊥AD
因为∠ABC=150°
所以∠CBD=180°-∠ABC=30°
所以∠BCE=90°-30°=60°
因为∠BCD=105°
所以∠DCE=∠BCD-∠BCE=45°
所以CE=DE
因为$sin∠BCE=sin{30}°=\frac {CE}{BC}=\frac {CE}{1600}=\frac {1}{2}$
所以CE=800
所以CE=DE=800
所以∠ECD=45°
所以∠BCE=60°
所以$BE=\sqrt{3}CE=800\sqrt{3}m$
所以$BD=800\sqrt{3}+800m$
8. 在 $ \triangle A B C $ 中，$ \angle A = 60 ^ { \circ } $，$ A C = 4 $. 若 $ \triangle A B C $ 是锐角三角形，则边 $ A B $ 长的取值范围是.
答案
2＜AB＜8
9. 我们已经学习了锐角的三角函数值，对于钝角 $ \alpha $，定义它的三角函数值：$ \sin \alpha = \sin ( 180 ^ { \circ } - \alpha ) $，$ \cos \alpha = - \cos ( 180 ^ { \circ } - \alpha ) $. 试回答下列问题：
(1) 求 $ \sin 120 ^ { \circ } $、$ \cos 120 ^ { \circ } $ 的值；
(2) 若一个三角形三个内角的度数之比是 $ 1 : 1 : 4 $，$ A $、$ B $ 是这个三角形的两个顶点，$ \sin A $、$ \cos B $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 4 x ^ { 2 } - m x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根，求 $ m $ 的值及 $ \angle A $ 和 $ \angle B $ 的度数.
(1) 求 $ \sin 120 ^ { \circ } $、$ \cos 120 ^ { \circ } $ 的值；
(2) 若一个三角形三个内角的度数之比是 $ 1 : 1 : 4 $，$ A $、$ B $ 是这个三角形的两个顶点，$ \sin A $、$ \cos B $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 4 x ^ { 2 } - m x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根，求 $ m $ 的值及 $ \angle A $ 和 $ \angle B $ 的度数.
答案
2＜AB＜8
解：(1)由题意得，$sin 120°= sin(180°-120°)= sin{60}°=\frac {\sqrt{3}}{2}$
$cos 120°=-cos(180° - 120°)= - cos{60}°=-\frac {1}{2}$
(2)因为三角形的三个内角度数之比为1：1 ：4
这个三角形的三个内角度数分别为30° ， 30°， 120°
因为sinA、cosB是一元二次方程4x²-mx-1=0的两个不相等的实数根
两根之积$sinA×cosB=-\frac {1}{4}$且sinA≠cosB
因为$sin 120° = cos{30}° =\frac {\sqrt{3}}{2}$
所以∠A=30°，$sinA=\frac {1}{2}$
所以$cosB=-\frac {1}{2}$
所以∠B=120°
因为两根之和$sinA+cosB=\frac {m}{4}=0$
所以m=0
解：(1)由题意得，$sin 120°= sin(180°-120°)= sin{60}°=\frac {\sqrt{3}}{2}$
$cos 120°=-cos(180° - 120°)= - cos{60}°=-\frac {1}{2}$
(2)因为三角形的三个内角度数之比为1：1 ：4
这个三角形的三个内角度数分别为30° ， 30°， 120°
因为sinA、cosB是一元二次方程4x²-mx-1=0的两个不相等的实数根
两根之积$sinA×cosB=-\frac {1}{4}$且sinA≠cosB
因为$sin 120° = cos{30}° =\frac {\sqrt{3}}{2}$
所以∠A=30°，$sinA=\frac {1}{2}$
所以$cosB=-\frac {1}{2}$
所以∠B=120°
因为两根之和$sinA+cosB=\frac {m}{4}=0$
所以m=0
