10. (★)某商店为了促销一种定价为$5$元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过$4$件，则按原价付款；若一次性购买$4$件以上，则超过部分按原价的八折付款。如果小莹有$42$元钱，那么她最多可以购买该商品【 】

A.$9$件
B.$11$件
C.$10$件
D.$12$件

A

设小莹购买该商品$x$件。当$x＞4$时，费用为$4×5 + 0.8×5(x - 4) = 20 + 4(x - 4) = 4x + 4$。依题意$4x + 4 ≤ 42$，解得$x ≤ 9.5$，故$x$最大取$9$。

11. (★★)一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式。
方式一：每次购买$30$元入场券。
方式二：办理实名制会员证$150$元，仅限本人使用，每次入场需再购入场券$18$元。
(1)当小宁去游泳$8$次时，选哪种方式更划算？请说明理由。
(2)当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由。

(1)
方式一：$30 × 8 = 240$（元）；
方式二：$150 + 18 × 8 = 150 + 144 = 294$（元）；
因为$240 ＜ 294$，所以当小宁去游泳$8$次时，选择方式一更划算。
(2)
设小宁去游泳$x$次，
方式一：总费用为$30x$元；
方式二：总费用为$(150 + 18x)$元；
要使方式二比方式一划算，需要满足：
$150 + 18x ＜ 30x$，
移项得：
$12x ＞ 150$，
解得：
$x ＞ 12.5$，
由于$x$必须是正整数（游泳次数不能是小数或分数），所以$x$的最小整数值为$13$。
答：当小宁去游泳至少$13$次时，方式二比方式一划算。

12. (★★)某公司为了扩大经营，决定购进$6$台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过$34$万元。

(1)按该公司要求可以有几种购买方案？
(2)若该公司购进的$6$台机器的日生产能力不能低于$380$个，则为了节约资金，应选择哪种购买方案？

(1) 设购买甲种机器 $x$ 台，则购买乙种机器为 $6 - x$ 台。
根据预算不超过 $34$ 万元，得到不等式：
$7x + 5(6 - x) ≤ 34$，
$7x + 30 - 5x ≤ 34$，
$2x ≤ 4$，
$x ≤ 2$，
由于 $x$ 取自然数，所以 $x$ 可以取 $0, 1, 2$，
因此，共有三种购买方案：
甲种机器 $0$ 台，乙种机器 $6$ 台；
甲种机器 $1$ 台，乙种机器 $5$ 台；
甲种机器 $2$ 台，乙种机器 $4$ 台。
(2) 接下来，需要考虑日生产能力不能低于 $380$ 个的条件，即：
$100x + 60(6 - x) ≥ 380$，
$100x + 360 - 60x ≥ 380$，
$40x ≥ 20$，
$x ≥ \frac{1}{2}$，
结合第一部分的解，只有 $x = 1$ 或 $x = 2$ 满足条件。
当 $x = 1$ 时，花费为 $7 × 1 + 5 × 5 = 32$ 万元；
当 $x = 2$ 时，花费为 $7 × 2 + 5 × 4 = 34$ 万元。
由于 $32 ＜ 34$，为了节约资金，应选择购买甲种机器 $1$ 台，乙种机器 $5$ 台的方案。