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16. 阅读下面材料：
我们知道一次函数$y = kx + b$（$k\ne0$，$k$，$b$是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0$（$A\ne0$，$A$，$B$，$C$是常数）的形式，点$P(x_{0},y_{0})$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d=\dfrac{\vert Ax_{0} + By_{0} + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$计算。
例如：求点$P(3,4)$到直线$y = -2x + 5$的距离。
解：$\because y = -2x + 5$，
$\therefore 2x + y - 5 = 0$，其中$A = 2$，$B = 1$，$C = -5$，
$\therefore$点$P(3,4)$到直线$y = -2x + 5$的距离为$d=\dfrac{\vert Ax_{0} + By_{0} + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}=\dfrac{\vert 2×3 + 1×4 - 5\vert}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点$Q(-2,2)$到直线$3x - y + 7 = 0$的距离；
（2）如图，直线$y = -x$沿$y$轴向上平移$2$个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离。
我们知道一次函数$y = kx + b$（$k\ne0$，$k$，$b$是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成$Ax + By + C = 0$（$A\ne0$，$A$，$B$，$C$是常数）的形式，点$P(x_{0},y_{0})$到直线$Ax + By + C = 0$的距离可用公式$d=\dfrac{\vert Ax_{0} + By_{0} + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$计算。
例如：求点$P(3,4)$到直线$y = -2x + 5$的距离。
解：$\because y = -2x + 5$，
$\therefore 2x + y - 5 = 0$，其中$A = 2$，$B = 1$，$C = -5$，
$\therefore$点$P(3,4)$到直线$y = -2x + 5$的距离为$d=\dfrac{\vert Ax_{0} + By_{0} + C\vert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}=\dfrac{\vert 2×3 + 1×4 - 5\vert}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点$Q(-2,2)$到直线$3x - y + 7 = 0$的距离；
（2）如图，直线$y = -x$沿$y$轴向上平移$2$个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离。
答案
16. 解: (1) $\because 3 x-y+7=0$, $\therefore A=3, B=-1, C=7$. $\because$ 点 $Q(-2,2), \therefore d=\frac{|3 ×(-2)-1 × 2+7|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. $\therefore$ 点 $Q(-2, 2)$ 到直线 $3 x-y+7=0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$. (2) $\because$ 直线 $y=-x$ 沿 $y$ 轴向上平移 2 个单位长度得到另一条直线为 $y=-x+2$, 在直线 $y=-x$ 上任意取一点 $P$, 当 $x=0$ 时, $y=0$. $\therefore P(0,0)$. $\because$ 直线 $y=-x+2, \therefore A=1, B=1, C=-2. \therefore d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}, \therefore$ 两条平行线之间的距离为 $\sqrt{2}$.
解析
16. 解：(1) $\because 3x - y + 7 = 0$，$\therefore A = 3$，$B = -1$，$C = 7$。
$\because$ 点$Q(-2, 2)$，$\therefore d = \frac{|3×(-2) + (-1)×2 + 7|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - 2 + 7|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2) 直线$y = -x$沿$y$轴向上平移$2$个单位长度得到直线$y = -x + 2$。
在直线$y = -x$上取点$P(0, 0)$，直线$y = -x + 2$可化为$x + y - 2 = 0$，$\therefore A = 1$，$B = 1$，$C = -2$。
$\therefore d = \frac{|1×0 + 1×0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
$\because$ 点$Q(-2, 2)$，$\therefore d = \frac{|3×(-2) + (-1)×2 + 7|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-6 - 2 + 7|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
(2) 直线$y = -x$沿$y$轴向上平移$2$个单位长度得到直线$y = -x + 2$。
在直线$y = -x$上取点$P(0, 0)$，直线$y = -x + 2$可化为$x + y - 2 = 0$，$\therefore A = 1$，$B = 1$，$C = -2$。
$\therefore d = \frac{|1×0 + 1×0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$。
17. 在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程，小峰对函数$y=\begin{cases}2x + 1(x≤1),\\3(x＞1)\end{cases}$的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
(1)列出表格，请同学们求出$a$，$b$，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
$a =$；$b =$。
(2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有。
① 函数图象关于$x$轴对称；
② 此函数无最小值；
③ 此函数有最大值，且最大值为$3$；
④ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3)若函数$y=\begin{cases}2x + 1(x≤1),\\3(x＞1)\end{cases}$与直线$y_{1} = x + b$的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出$b$的取值范围为 ______ 。
(1)列出表格，请同学们求出$a$，$b$，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
$a =$；$b =$。
(2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有。
① 函数图象关于$x$轴对称；
② 此函数无最小值；
③ 此函数有最大值，且最大值为$3$；
④ 当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3)若函数$y=\begin{cases}2x + 1(x≤1),\\3(x＞1)\end{cases}$与直线$y_{1} = x + b$的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出$b$的取值范围为 ______ 。
答案
17. 解: (1) 当 $x=1$ 时, $y=2 x+1=3, \therefore a=3$; 当 $x=2$ 时, $y=3, \therefore b=3$; 画出函数图象如图①所示:
(第17题)
(2) 由图象可知, ①函数图象不关于 $x$ 轴对称, 故①错误; ②此函数无最小值, 故②正确; ③此函数有最大值, 且最大值为 3, 故③正确; ④当 $x＜1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 故④正确; 故答案为: ②③④. (3) 如图②, 直线 $y_{1}=x+b$ 经过点 $(1,3)$, 则 $1+b=3, \therefore b=2, \therefore$ 直线 $y_{1}=x+b$ 与函数 $y= \begin{cases}2 x+1(x ≤ 1) \\ 3(x＞1)\end{cases}$ 始终有两个交点, 则 $b＜2$.
