登录
5. 一个正多边形的一个外角等于 $ 20^{\circ} $，则这个正多边形的内角和为。
答案
已知正多边形的一个外角为$20^{\circ}$，
由于正多边形的所有外角之和为$360^{\circ}$，
所以正多边形的边数 $n$ 为：
$n = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18$
正多边形的内角和 $S$ 可以用以下公式计算：
$S = (n - 2) × 180^{\circ}$
将 $n = 18$ 代入公式，得：
$S = (18 - 2) × 180^{\circ} = 2880^{\circ}$
故答案为：$2880^{\circ}$。
由于正多边形的所有外角之和为$360^{\circ}$，
所以正多边形的边数 $n$ 为：
$n = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18$
正多边形的内角和 $S$ 可以用以下公式计算：
$S = (n - 2) × 180^{\circ}$
将 $n = 18$ 代入公式，得：
$S = (18 - 2) × 180^{\circ} = 2880^{\circ}$
故答案为：$2880^{\circ}$。
6. 经过多边形的一个顶点共有 5 条对角线，若这个多边形是正多边形，则它的每一个外角的度数为。
答案
设多边形的边数为$n$。
因为经过多边形的一个顶点共有$5$条对角线，所以$n - 3 = 5$，解得$n = 8$。
正多边形的外角和为$360^{\circ}$，该正多边形为八边形，所以每一个外角的度数为$360^{\circ} ÷ 8 = 45^{\circ}$。
$45$
因为经过多边形的一个顶点共有$5$条对角线，所以$n - 3 = 5$，解得$n = 8$。
正多边形的外角和为$360^{\circ}$，该正多边形为八边形，所以每一个外角的度数为$360^{\circ} ÷ 8 = 45^{\circ}$。
$45$
7. 一个 $ n $ 边形的内角和与外角和的比是 $ 4:1 $，则 $ n $ 是()。
A.8
B.9
C.10
D.12
A.8
B.9
C.10
D.12
答案
C
解析
设该$n$边形的内角和为$4x$，外角和为$x$。
根据多边形外角和的性质，任意多边形的外角和恒为$360°$，因此$x = 360°$。
内角和为$4x = 4 × 360° = 1440°$。
根据多边形内角和公式：$(n - 2) × 180° = 1440°$，解得$n - 2 = 8$，即$n = 10$。
根据多边形外角和的性质，任意多边形的外角和恒为$360°$，因此$x = 360°$。
内角和为$4x = 4 × 360° = 1440°$。
根据多边形内角和公式：$(n - 2) × 180° = 1440°$，解得$n - 2 = 8$，即$n = 10$。
8. 如图，小亮从点 $ A $ 出发前进 10 m，向右转 $ 15^{\circ} $；再前进 10 m，又向右转 $ 15^{\circ} ··· ··· $这样一直走下去，则他第一次回到出发点 $ A $ 时一共走了。
答案
小亮每次前进10m后向右转15°，最终回到出发点A，其路径构成正多边形。
正多边形外角和为360°，每个外角为15°，则边数$ n = \frac{360°}{15°} = 24 $。
总路程为$ 24 × 10 = 240 \, \mathrm{m} $。
240
正多边形外角和为360°，每个外角为15°，则边数$ n = \frac{360°}{15°} = 24 $。
总路程为$ 24 × 10 = 240 \, \mathrm{m} $。
240
9. 已知一个多边形的每个内角都相等，且它的每个内角比其相邻的外角大 $ 60^{\circ} $，这个多边形是几边形？
答案
设这个多边形的每个外角为$ x $，则每个内角为$ x + 60° $。
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以：
$ x + (x + 60°) = 180° $
解得：$ 2x = 120° $，$ x = 60° $。
由于任意多边形的外角和为$ 360° $，且该多边形每个外角相等，所以边数$ n = \frac{360°}{x} = \frac{360°}{60°} = 6 $。
结论：这个多边形是六边形。
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以：
$ x + (x + 60°) = 180° $
解得：$ 2x = 120° $，$ x = 60° $。
由于任意多边形的外角和为$ 360° $，且该多边形每个外角相等，所以边数$ n = \frac{360°}{x} = \frac{360°}{60°} = 6 $。
结论：这个多边形是六边形。
10. 【综合与实践】【课本引申】
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与和它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系？
【尝试探究】
(1) 如图①，$ ∠ DBC $ 与 $ ∠ ECB $ 为 $ △ ABC $ 的两个外角，试探究 $ ∠ A $ 与 $ ∠ DBC + ∠ ECB $ 之间存在怎样的数量关系，并说明理由。
【拓展运用】
(2) 如图②，在 $ △ ABC $ 纸片中剪去 $ △ CED $，得到四边形 $ ABDE $。若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 230^{\circ} $，则剪掉的 $ ∠ C = $。
(3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在 $ △ ABC $ 中，$ BP $，$ CP $ 分别平分 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ DBC $，$ ∠ ECB $，则 $ ∠ P $ 与 $ ∠ A $ 有何数量关系？请直接写出答案：。
(4) 如图④，在四边形 $ ABCD $ 中，$ BP $，$ CP $ 分别平分四边形 $ ABCD $ 的外角 $ ∠ EBC $，$ ∠ FCB $。$ ∠ P $ 与 $ ∠ BAD $，$ ∠ CDA $ 有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)
(第 10 题)
我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与和它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系？
【尝试探究】
(1) 如图①，$ ∠ DBC $ 与 $ ∠ ECB $ 为 $ △ ABC $ 的两个外角，试探究 $ ∠ A $ 与 $ ∠ DBC + ∠ ECB $ 之间存在怎样的数量关系，并说明理由。
【拓展运用】
(2) 如图②，在 $ △ ABC $ 纸片中剪去 $ △ CED $，得到四边形 $ ABDE $。若 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 230^{\circ} $，则剪掉的 $ ∠ C = $。
(3) 小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在 $ △ ABC $ 中，$ BP $，$ CP $ 分别平分 $ △ ABC $ 的外角 $ ∠ DBC $，$ ∠ ECB $，则 $ ∠ P $ 与 $ ∠ A $ 有何数量关系？请直接写出答案：。
(4) 如图④，在四边形 $ ABCD $ 中，$ BP $，$ CP $ 分别平分四边形 $ ABCD $ 的外角 $ ∠ EBC $，$ ∠ FCB $。$ ∠ P $ 与 $ ∠ BAD $，$ ∠ CDA $ 有何数量关系？为什么？(若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由)
(第 10 题)
答案
(1) ∠DBC + ∠ECB = ∠A + 180°。理由：∵∠DBC是△ABC外角，∴∠DBC = ∠A + ∠ACB；同理∠ECB = ∠A + ∠ABC。∴∠DBC + ∠ECB = 2∠A + (∠ABC + ∠ACB)。∵∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，∴∠DBC + ∠ECB = 2∠A + 180° - ∠A = ∠A + 180°。
(2) 50°
(3) ∠P = 90° - 1/2∠A
(4) ∠P = 180° - 1/2(∠BAD + ∠CDA)。理由：∵∠EBC = 180° - ∠ABC，∠FCB = 180° - ∠BCD，∴∠EBC + ∠FCB = 360° - (∠ABC + ∠BCD)。∵四边形内角和360°，∴∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠BAD + ∠CDA)，∴∠EBC + ∠FCB = ∠BAD + ∠CDA。∵BP、CP平分∠EBC、∠FCB，∴∠PBC + ∠PCB = 1/2(∠EBC + ∠FCB) = 1/2(∠BAD + ∠CDA)。∴∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 1/2(∠BAD + ∠CDA)。
(2) 50°
(3) ∠P = 90° - 1/2∠A
(4) ∠P = 180° - 1/2(∠BAD + ∠CDA)。理由：∵∠EBC = 180° - ∠ABC，∠FCB = 180° - ∠BCD，∴∠EBC + ∠FCB = 360° - (∠ABC + ∠BCD)。∵四边形内角和360°，∴∠ABC + ∠BCD = 360° - (∠BAD + ∠CDA)，∴∠EBC + ∠FCB = ∠BAD + ∠CDA。∵BP、CP平分∠EBC、∠FCB，∴∠PBC + ∠PCB = 1/2(∠EBC + ∠FCB) = 1/2(∠BAD + ∠CDA)。∴∠P = 180° - (∠PBC + ∠PCB) = 180° - 1/2(∠BAD + ∠CDA)。
