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18. (12分)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解。例如：利用图①可以得到$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$。
(1)请把表示图②面积的多项式因式分解：
(2)若$a + b + c = 13$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=57$，求$ab + ac + bc$的值；
(3)如图③，有足够数量的边长分别为$a$，$b$的正方形纸片和长为$b$、宽为$a$的矩形纸片，请利用这些纸片将多项式$2a^{2}+7ab + 3b^{2}$因式分解，并画出图形。
(1)请把表示图②面积的多项式因式分解：
$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$
(直接列出等式即可)；(2)若$a + b + c = 13$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=57$，求$ab + ac + bc$的值；
(3)如图③，有足够数量的边长分别为$a$，$b$的正方形纸片和长为$b$、宽为$a$的矩形纸片，请利用这些纸片将多项式$2a^{2}+7ab + 3b^{2}$因式分解，并画出图形。
答案
18.（1）$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$
（2）56 （3）如图，$2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b)$
解析
【解析】
(1) 图②的面积可表示为各小图形面积之和$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，也可表示为大正方形的面积$(a+b+c)^2$，因此得到因式分解等式：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$。
(2) 根据完全平方公式变形：$ab+ac+bc=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$，将$a + b + c = 13$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=57$代入，得：
$ab+ac+bc=\frac{13^2-57}{2}=\frac{169-57}{2}=56$。
(3) 用2个边长为$a$的正方形、7个长为$b$宽为$a$的矩形、3个边长为$b$的正方形，可拼成长为$(2a+b)$、宽为$(a+3b)$的长方形，因此$2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b)$，图形按上述拼接方式绘制即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2}$；
(2) $\boldsymbol{56}$；
(3) $\boldsymbol{2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b)}$，图形见参考拼接图。
【知识点】
完全平方公式，因式分解，数形结合思想
【点评】
本题借助数形结合思想，将几何图形面积与代数恒等式、因式分解关联，考查完全平方公式的灵活运用与因式分解的几何意义，培养学生的数形结合思维与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 图②的面积可表示为各小图形面积之和$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，也可表示为大正方形的面积$(a+b+c)^2$，因此得到因式分解等式：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2$。
(2) 根据完全平方公式变形：$ab+ac+bc=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}$，将$a + b + c = 13$，$a^{2}+b^{2}+c^{2}=57$代入，得：
$ab+ac+bc=\frac{13^2-57}{2}=\frac{169-57}{2}=56$。
(3) 用2个边长为$a$的正方形、7个长为$b$宽为$a$的矩形、3个边长为$b$的正方形，可拼成长为$(2a+b)$、宽为$(a+3b)$的长方形，因此$2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b)$，图形按上述拼接方式绘制即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2}$；
(2) $\boldsymbol{56}$；
(3) $\boldsymbol{2a^2+7ab+3b^2=(a+3b)(2a+b)}$，图形见参考拼接图。
【知识点】
完全平方公式，因式分解，数形结合思想
【点评】
本题借助数形结合思想，将几何图形面积与代数恒等式、因式分解关联，考查完全平方公式的灵活运用与因式分解的几何意义，培养学生的数形结合思维与代数运算能力。
【难度系数】
0.6
