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16. （10分）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了：$( ) + 12xy+ ( ) = ( ) )^{2}$。
请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法）
请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法）
答案
16. 方法一：$4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$；方法二：$4x^2y^2+12xy+9=(2xy+3)^2$；方法三：$x^2y^2+12xy+36=(xy+6)^2$
解析
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知中间项为$12xy$，即$2ab=12xy$，只要确定满足该等式的不同$a$、$b$，就能得到对应的前后两项，构造出完全平方式，存在多种方法，以下是三种示例：
【答案】
方法一：$4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$；
方法二：$4x^2y^2+12xy+9=(2xy+3)^2$；
方法三：$x^2y^2+12xy+36=(xy+6)^2$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，需熟练掌握公式结构特征，通过构造不同的$a$、$b$值来补充完全平方式，锻炼发散思维。
【难度系数】
0.6
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，已知中间项为$12xy$，即$2ab=12xy$，只要确定满足该等式的不同$a$、$b$，就能得到对应的前后两项，构造出完全平方式，存在多种方法，以下是三种示例：
【答案】
方法一：$4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$；
方法二：$4x^2y^2+12xy+9=(2xy+3)^2$；
方法三：$x^2y^2+12xy+36=(xy+6)^2$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，需熟练掌握公式结构特征，通过构造不同的$a$、$b$值来补充完全平方式，锻炼发散思维。
【难度系数】
0.6
17. （12分）【阅读材料】利用配方法将$x^{2}-6x + 8$变形为$a(x + m)^{2}+n$的形式，并把二次三项式分解因式。
配方：$x^{2}-6x + 8 = x^{2}-6x + 3^{2}-3^{2}+8=(x - 3)^{2}-1$。
分解因式：$x^{2}-6x + 8=(x - 3)^{2}-1=(x - 3 + 1)(x - 3 - 1)=(x - 2)(x - 4)$。
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式$x^{2}-4x - 5$化成$a(x + m)^{2}+n$的形式。
（2）利用配方法把二次三项式$x^{2}-2x - 35$分解因式。
（3）若$a$，$b$，$c$分别是$△ ABC$的三边，且$a^{2}+2b^{2}+3c^{2}-2ab - 2b - 6c + 4 = 0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
（4）求证：无论$x$，$y$取任何实数，代数式$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 15$的值恒为正数。
配方：$x^{2}-6x + 8 = x^{2}-6x + 3^{2}-3^{2}+8=(x - 3)^{2}-1$。
分解因式：$x^{2}-6x + 8=(x - 3)^{2}-1=(x - 3 + 1)(x - 3 - 1)=(x - 2)(x - 4)$。
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式$x^{2}-4x - 5$化成$a(x + m)^{2}+n$的形式。
（2）利用配方法把二次三项式$x^{2}-2x - 35$分解因式。
（3）若$a$，$b$，$c$分别是$△ ABC$的三边，且$a^{2}+2b^{2}+3c^{2}-2ab - 2b - 6c + 4 = 0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
（4）求证：无论$x$，$y$取任何实数，代数式$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 15$的值恒为正数。
答案
17.（1）$(x-2)^2-9$ （2）$(x+5)(x-7)$ （3）$△ ABC$为等边三角形，理由略
（4）证明：$x^2+y^2+4x-6y+15=x^2+4x+4+y^2-6y+9+2=(x+2)^2+(y-3)^2+2$，$\because (x+2)^2≥ 0$，$(y-3)^2≥ 0$，$\therefore (x+2)^2+(y-3)^2+2≥ 2＞0$，$\therefore$ 代数式$x^2+y^2+4x-6y+15$的值恒为正数
（4）证明：$x^2+y^2+4x-6y+15=x^2+4x+4+y^2-6y+9+2=(x+2)^2+(y-3)^2+2$，$\because (x+2)^2≥ 0$，$(y-3)^2≥ 0$，$\therefore (x+2)^2+(y-3)^2+2≥ 2＞0$，$\therefore$ 代数式$x^2+y^2+4x-6y+15$的值恒为正数
解析
【解析】
（1）配方法变形：
$x^{2}-4x - 5 = x^{2}-4x + 2^{2}-2^{2}-5=(x - 2)^{2}-9$
（2）先配方再分解因式：
$x^{2}-2x - 35 = x^{2}-2x + 1^{2}-1^{2}-35=(x - 1)^{2}-36$
利用平方差公式分解：
$(x - 1)^{2}-36=(x - 1 + 6)(x - 1 - 6)=(x + 5)(x - 7)$
（3）对等式进行配方分组：
$a^{2}+2b^{2}+3c^{2}-2ab - 2b - 6c + 4 = 0$
整理为：
$(a^{2}-2ab + b^{2})+(b^{2}-2b + 1)+3(c^{2}-2c + 1)=0$
即$(a - b)^{2}+(b - 1)^{2}+3(c - 1)^{2}=0$
因为平方数具有非负性，所以：
$a - b=0$，$b - 1=0$，$c - 1=0$
解得$a=b=1$，$c=1$，故$a=b=c$，$△ ABC$为等边三角形。
（4）证明：
$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 15$
$=(x^{2}+4x + 4)+(y^{2}-6y + 9)+2$
$=(x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}+2$
$\because (x + 2)^{2}≥0$，$(y - 3)^{2}≥0$
$\therefore (x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}+2≥2＞0$
$\therefore$ 无论$x$，$y$取任何实数，代数式的值恒为正数。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(x - 2)^{2}-9}$
（2）$\boldsymbol{(x + 5)(x - 7)}$
（3）$\boldsymbol{△ ABC}$是等边三角形，理由见解析
（4）证明见解析
【知识点】
配方法的应用；因式分解（平方差公式）；非负数的性质
【点评】
本题综合考查配方法的应用，涵盖配方变形、因式分解及利用非负数性质判断三角形形状等内容，要求熟练掌握配方法步骤与非负数性质，注重知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）配方法变形：
$x^{2}-4x - 5 = x^{2}-4x + 2^{2}-2^{2}-5=(x - 2)^{2}-9$
（2）先配方再分解因式：
$x^{2}-2x - 35 = x^{2}-2x + 1^{2}-1^{2}-35=(x - 1)^{2}-36$
利用平方差公式分解：
$(x - 1)^{2}-36=(x - 1 + 6)(x - 1 - 6)=(x + 5)(x - 7)$
（3）对等式进行配方分组：
$a^{2}+2b^{2}+3c^{2}-2ab - 2b - 6c + 4 = 0$
整理为：
$(a^{2}-2ab + b^{2})+(b^{2}-2b + 1)+3(c^{2}-2c + 1)=0$
即$(a - b)^{2}+(b - 1)^{2}+3(c - 1)^{2}=0$
因为平方数具有非负性，所以：
$a - b=0$，$b - 1=0$，$c - 1=0$
解得$a=b=1$，$c=1$，故$a=b=c$，$△ ABC$为等边三角形。
（4）证明：
$x^{2}+y^{2}+4x - 6y + 15$
$=(x^{2}+4x + 4)+(y^{2}-6y + 9)+2$
$=(x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}+2$
$\because (x + 2)^{2}≥0$，$(y - 3)^{2}≥0$
$\therefore (x + 2)^{2}+(y - 3)^{2}+2≥2＞0$
$\therefore$ 无论$x$，$y$取任何实数，代数式的值恒为正数。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(x - 2)^{2}-9}$
（2）$\boldsymbol{(x + 5)(x - 7)}$
（3）$\boldsymbol{△ ABC}$是等边三角形，理由见解析
（4）证明见解析
【知识点】
配方法的应用；因式分解（平方差公式）；非负数的性质
【点评】
本题综合考查配方法的应用，涵盖配方变形、因式分解及利用非负数性质判断三角形形状等内容，要求熟练掌握配方法步骤与非负数性质，注重知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
