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9.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图像交于A，B两点，已知点A的坐标是(-2，m+3)，点B的坐标是(4，m).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)当kx+b＞$\frac{n}{x}$时，x的取值范围是______________.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)当kx+b＞$\frac{n}{x}$时，x的取值范围是______________.
答案
(1)解：$\because$反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ 的图像经过点 $A(-2,m + 3)$，$B(4,m)$，
$\therefore n = -2(m + 3)=4m$，$\therefore m = -1$，
$\therefore A(-2,2)$，$B(4,-1)$，$n = 4m = -4$，
$\therefore$反比例函数的表达式为 $y = -\frac{4}{x}$。
$\because$一次函数 $y = kx + b$ 的图像经过点 $A$，$B$，
$\therefore \begin{cases}-2k + b = 2 \\ 4k + b = -1 \end{cases}$，解得 $\begin{cases}k = -\frac{1}{2} \\ b = 1 \end{cases}$，
故一次函数的表达式为 $y = -\frac{1}{2}x + 1$。
(2)解：如答图，该直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，
令 $x = 0$，则 $y = -\frac{1}{2}x + 1 = 1$，
$\therefore M(0,1)$，
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}\times1\times2+\frac{1}{2}\times1\times4 = 3$。
(3)$x ＜ -2$ 或 $0 ＜ x ＜ 4$
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图像分别与AB，BC交于点D(4，1)和点E，且D为AB的中点.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图像相交于点M，当点M在反比例函数图像上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出m的取值范围.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图像相交于点M，当点M在反比例函数图像上D，E之间的部分时(点M可与点D，E重合)，直接写出m的取值范围.
答案
解：(1)$\because$四边形 $OABC$ 是矩形，点 $D(4,1)$，且 $D$ 为 $AB$ 的中点，
$\therefore B(4,2)$，$\therefore$点 $E$ 的纵坐标为 2，
$\because$反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图像分别与 $AB$，$BC$ 交于点 $D(4,1)$ 和点 $E$，
$\therefore k = 4\times1 = 4$，$\therefore$反比例函数的表达式为 $y = \frac{4}{x}$，
把 $y = 2$ 代入，得 $2 = \frac{4}{x}$，
解得 $x = 2$，$\therefore E(2,2)$。
(2)把 $D(4,1)$ 代入 $y = x + m$，得 $1 = 4 + m$，解得 $m = -3$，
把 $E(2,2)$ 代入 $y = x + m$，得 $2 = 2 + m$，解得 $m = 0$，
$\therefore m$ 的取值范围是 $-3\leqslant m\leqslant0$。
$\therefore B(4,2)$，$\therefore$点 $E$ 的纵坐标为 2，
$\because$反比例函数 $y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图像分别与 $AB$，$BC$ 交于点 $D(4,1)$ 和点 $E$，
$\therefore k = 4\times1 = 4$，$\therefore$反比例函数的表达式为 $y = \frac{4}{x}$，
把 $y = 2$ 代入，得 $2 = \frac{4}{x}$，
解得 $x = 2$，$\therefore E(2,2)$。
(2)把 $D(4,1)$ 代入 $y = x + m$，得 $1 = 4 + m$，解得 $m = -3$，
把 $E(2,2)$ 代入 $y = x + m$，得 $2 = 2 + m$，解得 $m = 0$，
$\therefore m$ 的取值范围是 $-3\leqslant m\leqslant0$。
11.（2023·姜堰区期末）如图，A为反比例函数y₁=$\frac{m}{x}$(m＞0，x＞0)的图像上一点，且点A的横坐标为a，过点A作x轴，y轴的平行线，分别交反比例函数y₂=$\frac{n}{x}$(n＞m＞0，x＞0)的图像于点C，B，过点C作y轴的平行线，交反比例函数y₁的图像于点D，连接AD，BC.
(1)当m=1，n=2，a=1时，求线段CD的长；
(2)若n=2m；①若AC=2，求a的值；②求$\frac{CD}{AB}$的值；
(3)当m，n的值一定时，四边形ABCD的面积是否随a的变化而变化？若不变，请用含m，n的代数式表示四边形ABCD的面积；若变化，请说明理由.
(1)当m=1，n=2，a=1时，求线段CD的长；
(2)若n=2m；①若AC=2，求a的值；②求$\frac{CD}{AB}$的值；
(3)当m，n的值一定时，四边形ABCD的面积是否随a的变化而变化？若不变，请用含m，n的代数式表示四边形ABCD的面积；若变化，请说明理由.
答案
解：(1)$\because$点 $A$ 为反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(m ＞ 0,x ＞ 0)$ 的图像上一点，且点 $A$ 的横坐标为 $a$，$\therefore$点 $A$ 的坐标为 $(a,\frac{m}{a})$。
$\because AB// y$ 轴，$AC// x$ 轴，
$\therefore$点 $B$ 的横坐标与点 $A$ 的横坐标相同，点 $C$ 的纵坐标与点 $A$ 的纵坐标相同。
又 $\because$点 $B$，$C$ 在反比例函数 $y_2=\frac{n}{x}(n ＞ m ＞ 0,x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore$点 $B$ 的坐标为 $(a,\frac{n}{a})$，点 $C$ 的坐标为 $C(\frac{an}{m},\frac{m}{a})$。
$\because CD// y$ 轴，$\therefore$点 $D$ 的横坐标与点 $C$ 的横坐标相同，
又 $\because$点 $C$ 在反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(m ＞ 0,x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore$点 $D$ 的坐标为 $D(\frac{an}{m},\frac{m^2}{an})$，
$\therefore CD=\frac{m}{a}-\frac{m^2}{an}=\frac{m(n - m)}{an}$。
$\because m = 1$，$n = 2$，$a = 1$，$\therefore CD = 0.5$。
(2)由(1)可知，点 $A(a,\frac{m}{a})$，$B(a,\frac{n}{a})$，$C(\frac{an}{m},\frac{m}{a})$，$D(\frac{an}{m},\frac{m^2}{an})$，$CD=\frac{m(n - m)}{an}$，
$\therefore AC=\frac{an}{m}-a=\frac{a(n - m)}{m}$，$AB=\frac{n}{a}-\frac{m}{a}=\frac{n - m}{a}$。
①$\because n = 2m$，$AC = 2$，$\therefore 2=\frac{a(2m - m)}{m}$，$\therefore a = 2$。
②$\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{m(n - m)}{an}}{\frac{n - m}{a}}=\frac{m}{n}$，又 $\because n = 2m$，$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$。
(3)当 $m$，$n$ 的值一定时，四边形 $ABCD$ 的面积不变，
由(2)可知，$AC=\frac{a(n - m)}{m}$，$AB=\frac{n - m}{a}$，
$CD=\frac{m(n - m)}{an}$，
$\therefore AB + CD=\frac{n - m}{a}+\frac{m(n - m)}{an}=\frac{(n - m)(n + m)}{an}$。
$\because AB// y$ 轴，$AC// x$ 轴，$CD// y$ 轴，
$\therefore AB\perp AC$，$CD\perp AC$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AB+\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot(AB + CD)=\frac{1}{2}\cdot\frac{a(n - m)}{m}\cdot\frac{(n - m)(n + m)}{an}=\frac{(n - m)^2(n + m)}{2mn}$。
$\because m$，$n$ 的值一定，$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{(n - m)^2(n + m)}{2mn}$ 为定值。
$\because AB// y$ 轴，$AC// x$ 轴，
$\therefore$点 $B$ 的横坐标与点 $A$ 的横坐标相同，点 $C$ 的纵坐标与点 $A$ 的纵坐标相同。
又 $\because$点 $B$，$C$ 在反比例函数 $y_2=\frac{n}{x}(n ＞ m ＞ 0,x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore$点 $B$ 的坐标为 $(a,\frac{n}{a})$，点 $C$ 的坐标为 $C(\frac{an}{m},\frac{m}{a})$。
$\because CD// y$ 轴，$\therefore$点 $D$ 的横坐标与点 $C$ 的横坐标相同，
又 $\because$点 $C$ 在反比例函数 $y_1=\frac{m}{x}(m ＞ 0,x ＞ 0)$ 的图像上，
$\therefore$点 $D$ 的坐标为 $D(\frac{an}{m},\frac{m^2}{an})$，
$\therefore CD=\frac{m}{a}-\frac{m^2}{an}=\frac{m(n - m)}{an}$。
$\because m = 1$，$n = 2$，$a = 1$，$\therefore CD = 0.5$。
(2)由(1)可知，点 $A(a,\frac{m}{a})$，$B(a,\frac{n}{a})$，$C(\frac{an}{m},\frac{m}{a})$，$D(\frac{an}{m},\frac{m^2}{an})$，$CD=\frac{m(n - m)}{an}$，
$\therefore AC=\frac{an}{m}-a=\frac{a(n - m)}{m}$，$AB=\frac{n}{a}-\frac{m}{a}=\frac{n - m}{a}$。
①$\because n = 2m$，$AC = 2$，$\therefore 2=\frac{a(2m - m)}{m}$，$\therefore a = 2$。
②$\frac{CD}{AB}=\frac{\frac{m(n - m)}{an}}{\frac{n - m}{a}}=\frac{m}{n}$，又 $\because n = 2m$，$\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$。
(3)当 $m$，$n$ 的值一定时，四边形 $ABCD$ 的面积不变，
由(2)可知，$AC=\frac{a(n - m)}{m}$，$AB=\frac{n - m}{a}$，
$CD=\frac{m(n - m)}{an}$，
$\therefore AB + CD=\frac{n - m}{a}+\frac{m(n - m)}{an}=\frac{(n - m)(n + m)}{an}$。
$\because AB// y$ 轴，$AC// x$ 轴，$CD// y$ 轴，
$\therefore AB\perp AC$，$CD\perp AC$，
$\therefore S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AB+\frac{1}{2}AC\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot(AB + CD)=\frac{1}{2}\cdot\frac{a(n - m)}{m}\cdot\frac{(n - m)(n + m)}{an}=\frac{(n - m)^2(n + m)}{2mn}$。
$\because m$，$n$ 的值一定，$\therefore S_{四边形ABCD}=\frac{(n - m)^2(n + m)}{2mn}$ 为定值。
