8.（2023·河北）若$a = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{7}$，则$\sqrt{\frac{14a^{2}}{b^{2}}} =$（ ）
A. 2
B. 4
C. $\sqrt{7}$
D. $\sqrt{2}$

A

9. 对于任意两个和为正数的实数$a$，$b$，定义运算※：$a※b = \frac{a - b}{\sqrt{a + b}}$，例如$3※1 = \frac{3 - 1}{\sqrt{3 + 1}} = 1$，那么$8※12 =$________.

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

10. 已知$xy ＞ 0$，则化简$x\sqrt{-\frac{y}{x^{2}}}$的结果是________.

$-\sqrt{-y}$

11. 计算：
（1）$\sqrt{\frac{20x^{2}y^{2}}{z^{5}}}(x \geq 0,y \geq 0)$； （2）$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{1}{a} + 1}(a ＞ 0)$； （3）$\sqrt{0.48(a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3})}(a \geq 0,b \geq 0)$；
（4）$\sqrt{27a^{2}b^{5}c} \div \sqrt{3a^{2}bc^{2}} \times \sqrt{\frac{c^{3}}{b^{2}}}(c ＞ 0)$； （5）$\frac{2}{b}\sqrt{ab^{5}} \div 3\sqrt{\frac{b}{a}} \cdot (-\frac{3}{2}\sqrt{a^{2}b})(a ＞ 0,b ＞ 0)$.

解：(1) 原式$=\frac{\sqrt{20x^{2}y^{2}}}{\sqrt{z^{5}}}=\frac{2xy\sqrt{5z}}{z^{3}}$.
(2) 原式$=\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a + 1}{a}}=\frac{1}{a^{2}}\sqrt{a(a + 1)}$.
(3) 原式$=\sqrt{\frac{48a^{2}b^{2}(a + b)}{100}}=\frac{2}{5}ab\sqrt{3(a + b)}$.
(4) 原式$=\sqrt{27a^{2}b^{3}c\div3a^{2}bc^{2}\times\frac{c^{3}}{b^{2}}}=\sqrt{9c^{2}} = 3c$.
(5) 原式$=\frac{2}{b}\times\frac{1}{3}\times(-\frac{3}{2})\sqrt{ab^{5}\cdot\frac{a}{b}\cdot a^{2}b}=-\frac{1}{b}\sqrt{a^{4}b^{5}}=-a^{2}b\sqrt{b}$.

12. 在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知$x + y = -6$，$xy = 4$，求$\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}}$的值.
小刚是这样解的：$\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{xy}}{x} + \frac{\sqrt{xy}}{y} = \frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$.
把$x + y = -6$，$xy = 4$代入，得$\frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy} = \frac{\sqrt{4} \times (-6)}{4} = -3$.

显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.

解：$\because x + y = - 6,xy = 4,\therefore x\lt0,y\lt0$,
$\therefore\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=-\frac{\sqrt{xy}}{x}-\frac{\sqrt{xy}}{y}=-\frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}$.
把$x + y = - 6,xy = 4$代入，
得$-\frac{\sqrt{xy}(x + y)}{xy}=-\frac{\sqrt{4}\times(-6)}{4}=3$.