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例1 一个多项式减去 $3a^{2}-8a + 4$ 得 $-7a^{2}+9a - 4$,求这个多项式,并求 $a = -\frac{1}{2}$ 时这个多项式的值。
[解答] 所求多项式为 $(-7a^{2}+9a - 4)+(3a^{2}-8a + 4)$
$=-7a^{2}+9a - 4+3a^{2}-8a + 4= -4a^{2}+a$。
当 $a = -\frac{1}{2}$ 时,$-4a^{2}+a= -4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})= -4×\frac{1}{4}+(-\frac{1}{2})= -1-\frac{1}{2}= -1\frac{1}{2}$。
[解答] 所求多项式为 $(-7a^{2}+9a - 4)+(3a^{2}-8a + 4)$
$=-7a^{2}+9a - 4+3a^{2}-8a + 4= -4a^{2}+a$。
当 $a = -\frac{1}{2}$ 时,$-4a^{2}+a= -4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})= -4×\frac{1}{4}+(-\frac{1}{2})= -1-\frac{1}{2}= -1\frac{1}{2}$。
答案
所求多项式为$(-7a^{2}+9a - 4)+(3a^{2}-8a + 4)$
$=-7a^{2}+9a - 4+3a^{2}-8a + 4$
$=(-7a^{2}+3a^{2})+(9a - 8a)+(-4 + 4)$
$=-4a^{2}+a$
当$a=-\frac{1}{2}$时，
$-4a^{2}+a=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$
$=-1-\frac{1}{2}$
$=-\frac{3}{2}$
答：这个多项式为$-4a^{2}+a$，当$a=-\frac{1}{2}$时，这个多项式的值为$-\frac{3}{2}$。
$=-7a^{2}+9a - 4+3a^{2}-8a + 4$
$=(-7a^{2}+3a^{2})+(9a - 8a)+(-4 + 4)$
$=-4a^{2}+a$
当$a=-\frac{1}{2}$时，
$-4a^{2}+a=-4×(-\frac{1}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})$
$=-4×\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$
$=-1-\frac{1}{2}$
$=-\frac{3}{2}$
答：这个多项式为$-4a^{2}+a$，当$a=-\frac{1}{2}$时，这个多项式的值为$-\frac{3}{2}$。
例2 小刚同学由于粗心,把 “$A + B$” 看成了 “$A - B$”,算出 $A - B$ 的结果为 $-7x^{2}+10x + 12$,其中 $B = 4x^{2}-5x - 6$。
(1)求 $A + B$ 的正确结果；
(2)若 $x = -2$,求 $2A - B$ 的值。
[解答](1)因为 $A - B= -7x^{2}+10x + 12$,$B = 4x^{2}-5x - 6$,
所以 $A= -7x^{2}+10x + 12+(4x^{2}-5x - 6)$
$=-7x^{2}+10x + 12+4x^{2}-5x - 6$
$=-3x^{2}+5x + 6$,
所以 $A + B= -3x^{2}+5x + 6+4x^{2}-5x - 6= x^{2}$。
(2)$2A - B$
$=2(-3x^{2}+5x + 6)-(4x^{2}-5x - 6)$
$=-6x^{2}+10x + 12-4x^{2}+5x + 6$
$=-10x^{2}+15x + 18$,
当 $x = -2$ 时,
原式 $=-10×(-2)^{2}+15×(-2)+18$
$=-40-30 + 18$
$=-52$。
(1)求 $A + B$ 的正确结果；
(2)若 $x = -2$,求 $2A - B$ 的值。
[解答](1)因为 $A - B= -7x^{2}+10x + 12$,$B = 4x^{2}-5x - 6$,
所以 $A= -7x^{2}+10x + 12+(4x^{2}-5x - 6)$
$=-7x^{2}+10x + 12+4x^{2}-5x - 6$
$=-3x^{2}+5x + 6$,
所以 $A + B= -3x^{2}+5x + 6+4x^{2}-5x - 6= x^{2}$。
(2)$2A - B$
$=2(-3x^{2}+5x + 6)-(4x^{2}-5x - 6)$
$=-6x^{2}+10x + 12-4x^{2}+5x + 6$
$=-10x^{2}+15x + 18$,
当 $x = -2$ 时,
原式 $=-10×(-2)^{2}+15×(-2)+18$
$=-40-30 + 18$
$=-52$。
答案
(1)因为$A - B=-7x^{2}+10x + 12$，$B = 4x^{2}-5x - 6$，
所以$A=-7x^{2}+10x + 12+(4x^{2}-5x - 6)$
$=-7x^{2}+10x + 12+4x^{2}-5x - 6$
$=-3x^{2}+5x + 6$，
所以$A + B=-3x^{2}+5x + 6+4x^{2}-5x - 6=x^{2}$。
(2)$2A - B$
$=2(-3x^{2}+5x + 6)-(4x^{2}-5x - 6)$
$=-6x^{2}+10x + 12-4x^{2}+5x + 6$
$=-10x^{2}+15x + 18$，
当$x = -2$时，
原式$=-10×(-2)^{2}+15×(-2)+18$
$=-40-30 + 18$
$=-52$。
所以$A=-7x^{2}+10x + 12+(4x^{2}-5x - 6)$
$=-7x^{2}+10x + 12+4x^{2}-5x - 6$
$=-3x^{2}+5x + 6$，
所以$A + B=-3x^{2}+5x + 6+4x^{2}-5x - 6=x^{2}$。
(2)$2A - B$
$=2(-3x^{2}+5x + 6)-(4x^{2}-5x - 6)$
$=-6x^{2}+10x + 12-4x^{2}+5x + 6$
$=-10x^{2}+15x + 18$，
当$x = -2$时，
原式$=-10×(-2)^{2}+15×(-2)+18$
$=-40-30 + 18$
$=-52$。
1. 填空：
(1)若 $x + y = 3$,$xy = 2$,则 $(5x + 2)-(3xy - 5y)= $______；
(2)若 $a - 3b = -3$,则 $5 - a + 3b= $______；
(3)______$-(x^{2}-xy + y^{2})= 2x^{2}+3xy + y^{2}$。
(1)若 $x + y = 3$,$xy = 2$,则 $(5x + 2)-(3xy - 5y)= $______；
(2)若 $a - 3b = -3$,则 $5 - a + 3b= $______；
(3)______$-(x^{2}-xy + y^{2})= 2x^{2}+3xy + y^{2}$。
答案
（1）11 （2）8 （3）$3x^{2}+2xy+2y^{2}$
解析
(1) $(5x + 2)-(3xy - 5y)$
$=5x + 2 - 3xy + 5y$
$=5(x + y) - 3xy + 2$
当$x + y = 3$，$xy = 2$时，
原式$=5×3 - 3×2 + 2$
$=15 - 6 + 2$
$=11$
(2) $5 - a + 3b$
$=5 - (a - 3b)$
当$a - 3b = -3$时，
原式$=5 - (-3)$
$=5 + 3$
$=8$
(3) 设所求整式为$A$，则
$A - (x^{2}-xy + y^{2}) = 2x^{2}+3xy + y^{2}$
$A = 2x^{2}+3xy + y^{2} + x^{2}-xy + y^{2}$
$A = 3x^{2}+2xy + 2y^{2}$
11
8
$3x^{2}+2xy+2y^{2}$
