登录
12.（2025，西青区期末，21）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄$C$，河边原有两个取水点$A$，$B$，道路$AC$因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点$H$（点$A$，$H$，$B$在同一条直线上），并新修一条道路$CH$，已知$CB = 1.3\ \mathrm{km}$，$CH = 1.2\ \mathrm{km}$，$HB = 0.5\ \mathrm{km}$.
(1)$CH$是否为村庄$C$到河边最近的道路？请通过计算加以说明.
(2)已知新的取水点$H$与原取水点$A$相距$0.9\ \mathrm{km}$，求新路$CH$比原路$CA$少多少千米.
]
(1)$CH$是否为村庄$C$到河边最近的道路？请通过计算加以说明.
(2)已知新的取水点$H$与原取水点$A$相距$0.9\ \mathrm{km}$，求新路$CH$比原路$CA$少多少千米.
]答案
12. 解：（1）
∵CH²+HB²=1.2²+0.5²=1.69，
CB²=1.3²=1.69，
∴CH²+HB²=CB².
根据勾股定理的逆定理，得
△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°.
∴CH⊥AB.
根据“垂线段最短”可知CH是村庄C到河边最近的道路.
（2）
∵CH⊥AB，
∴∠CHA=90°.
在Rt△AHC中，根据勾股定理，得
$CA= \sqrt { AH ^ { 2 } + CH ^ { 2 } } = \sqrt { 0.9 ^ { 2 } + 1.2 ^ { 2 } } = 1.5（km）.$
∴CA−CH=1.5−1.2=0.3（km）.
∴新路CH比原路CA少0.3km.
∵CH²+HB²=1.2²+0.5²=1.69，
CB²=1.3²=1.69，
∴CH²+HB²=CB².
根据勾股定理的逆定理，得
△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°.
∴CH⊥AB.
根据“垂线段最短”可知CH是村庄C到河边最近的道路.
（2）
∵CH⊥AB，
∴∠CHA=90°.
在Rt△AHC中，根据勾股定理，得
$CA= \sqrt { AH ^ { 2 } + CH ^ { 2 } } = \sqrt { 0.9 ^ { 2 } + 1.2 ^ { 2 } } = 1.5（km）.$
∴CA−CH=1.5−1.2=0.3（km）.
∴新路CH比原路CA少0.3km.
1. 如图，在$4×4$的网格中，每个小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则下列结论错误的是(
A.$BC = 5$
B.$∠BAC = 90°$
C.$△ ABC$的面积为$10$
D.点$A$到直线$BC$的距离是$2$
]
C
).A.$BC = 5$
B.$∠BAC = 90°$
C.$△ ABC$的面积为$10$
D.点$A$到直线$BC$的距离是$2$
]答案
1. C
2. 将长度分别为$6$，$8$，$10$，$15$，$17$的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是(
]
C
).]答案
2. C
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 10$，$AC = 8$，$BC = 6$，$DE$是$AB$的垂直平分线，$DE$分别交$AC$，$AB$于点$E$，$D$，则$AE$的长为
$\frac { 25 } { 4 }$
.答案
$3. \frac { 25 } { 4 } 【$提示】如图，连接BE.
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AC²+BC²=AB².
根据勾股定理的逆定理，得
△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE.
设AE=BE=x，则EC=8−x.
∵在Rt△EBC中，EC²+BC²=BE²，
∴(8−x)²+6²=x².
∴$x= \frac { 25 } { 4 }$，即$AE= \frac { 25 } { 4 }.$
