1. 判断。对的在()里画√，错的画×。
(1) 所有的正整数，不是奇数就是偶数。 ()
(2) 所有的正整数，不是素数就是合数。 ()
(3) 奇数都是素数，偶数都是合数。 ()
(4) 在所有的偶数中，只有 2 是素数。 ()
(5) 在所有的素数中，只有 2 是偶数。 ()
(6) 21 的因数都是素数。 ()

(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×

(1) 正整数中，能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数，因此所有正整数不是奇数就是偶数。（√）
(2) 1既不是素数也不是合数，因此该陈述错误。（×）
(3) 奇数中比如9是合数，偶数中2是素数，因此该陈述错误。（×）
(4) 偶数中，只有2是素数，其他偶数都能被2以外的数整除。（√）
(5) 素数中，只有2是偶数，其他素数都是奇数。（√）
(6) 21的因数包括1, 3, 7, 21，其中1不是素数，因此该陈述错误。（×）

2. (1) 写出 20 ~ 40 之间的 4 个素数。
(2) 用以上你写的 4 个素数除以 6，所得的余数有什么特点？
(3) 所得的余数可能是 2 或 3 吗？为什么？

(1)20到40之间素数有：23，29，31，37（答案不唯一）。
(2)$23 ÷ 6 = 3\dots 5$；
$29 ÷ 6 = 4\dots 5$；
$31 ÷ 6 = 5\dots 1$；
$37 ÷ 6 = 6\dots 1$。
所得余数为$5$，$5$，$1$，$1$，余数都是$1$或者$5$。
(3)所得余数不可能是$2$或$3$，理由：
若余数为$2$，设素数为$6n + 2 = 2(3n + 1)$，$n$为非负整数，该数除$1$和自身外，还有因数$2$和$3n + 1$，不满足素数定义；
若余数为$3$，设素数为$6n + 3 = 3(2n + 1)$，$n$为非负整数，该数除$1$和自身外，还有因数$3$和$2n + 1$，不满足素数定义。

3. 下面各题的计算结果，是素数的在()里画△，是合数的在()里画○。
(1) $1 + 4$ () $4 - 1$ ()
(2) $2 + 3$ () $3 - 2$ ()
(3) $9 + 6$ () $9 - 6$ ()
(4) $35 + 1$ () $35 × 1$ ()

△,△,△,,○,△,○,○

(1) $1 + 4 = 5$，5是素数；$4 - 1 = 3$，3是素数。
(2) $2 + 3 = 5$，5是素数；$3 - 2 = 1$，1既不是素数也不是合数（题目未要求，此处不填符号）。
(3) $9 + 6 = 15$，15是合数；$9 - 6 = 3$，3是素数。
(4) $35 + 1 = 36$，36是合数；$35 × 1 = 35$，35是合数。

4. 填空。
(1) $a$ 是一个素数，且 $a + 1$，$a + 3$，$a + 5$ 都是素数，$a$ 是()。

2

已知$a$是素数，且$a+1$，$a+3$，$a+5$都是素数。
从最小的素数开始尝试，若$a=2$，$a+1=3$（素数），$a+3=5$（素数），$a+5=7$（素数），符合题意；
若$a=3$，$a + 1 = 4$，$4$不是素数，不符合题意；
当$a＞3$时，若$a$是素数，$a$除以$3$的余数只能是$1$或$2$。
当$a$除以$3$余$1$时，$a = 3k + 1$（$k$为整数），$a + 2=3k + 3 = 3(k + 1)$能被$3$整除，$a+5=3k+6$能被$3$整除；
当$a$除以$3$余$2$时，$a = 3k+2$（$k$为整数），$a + 1=3k + 3 = 3(k + 1)$能被$3$整除。
所以除了$a = 2$外，其他素数不满足$a + 1$，$a + 3$，$a + 5$都是素数这一条件。

(2) $a$ 是一个素数，且 $a + 4$，$a + 6$，$a + 10$ 都是素数，$a$ 最小是()。

7

从最小素数开始试算：
a=2时，a+4=6（合数），不符合；
a=3时，a+6=9（合数），不符合；
a=5时，a+4=9（合数），不符合；
a=7时，a+4=11（素数），a+6=13（素数），a+10=17（素数），符合条件。
故a最小是7。