9. 如图，在△ABC 中(∠BAC ≠ 60°)，在 BC 的同侧作等边三角形 ABF、等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE. 当∠BAC 的度数为时，四边形 ADEF 是矩形.

150°

1. 证明△ABC≌△FBE：
因为△ABF、△BCE为等边三角形，所以AB=FB，BC=BE，∠FBA=∠EBC=60°，
可得∠FBE=∠ABC，由SAS证得△ABC≌△FBE，故AC=FE。
又△ACD为等边三角形，AC=AD，因此FE=AD。
2. 同理可证△ABC≌△DEC，得AB=DE，结合△ABF为等边三角形AB=AF，得DE=AF，
所以四边形ADEF两组对边分别相等，是平行四边形。
3. 若四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°：
由∠FAB=∠CAD=60°，得∠DAF=360°-60°-60°-∠BAC=240°-∠BAC，
令240°-∠BAC=90°，解得∠BAC=150°。

10. 如图，在▱ABCD 中，DE ⊥ BC，垂足为 E，延长 CB 至点 F，使得 BF = CE，连接 AF，DF.

（1）求证四边形 ADEF 是矩形.
（2）若 AB = 3，DF = 4，DF ⊥ CD，求 DE 的长.

（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
∵$BF=CE$，
∴$BF+BE=CE+BE$，即$FE=BC$。
∴$AD=FE$，又$AD// FE$，
∴四边形ADEF是平行四边形。
∵$DE⊥ BC$，
∴$∠ DEF=90°$，
∴平行四边形ADEF是矩形。
（2）解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB=CD=3$。
∵$DF⊥ CD$，
∴$△ DFC$是直角三角形。
在$Rt△ DFC$中，$CD=3$，$DF=4$，
由勾股定理得：$FC=\sqrt{DF^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵四边形ADEF是矩形，
∴$DE⊥ FC$，
∴$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}· DF· CD=\frac{1}{2}· FC· DE$，
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× DE$，
解得$DE=\frac{12}{5}$。

11. 如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC，∠B = 90°，AD = 24 cm，BC = 26 cm. 动点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度向点 D 运动；动点 Q 从点 C 同时出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动. 规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 当运动几秒时，四边形 APQB 是矩形？

解：设运动$ t $秒时，四边形$ APQB $是矩形。
∵ $ AD // BC $，$ ∠ B = 90° $，
∴ 当$ AP = BQ $时，四边形$ APQB $是矩形。
由题意得：$ AP = t \, \mathrm{cm} $，$ CQ = 3t \, \mathrm{cm} $，
则$ BQ = BC - CQ = (26 - 3t) \, \mathrm{cm} $，
∴ $ t = 26 - 3t $，
解得：$ t = 6.5 $。
答：运动6.5秒时，四边形$ APQB $是矩形。