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1. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是().
A.对边平行
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.四条边都相等
A.对边平行
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.四条边都相等
答案
D
解析
平行四边形具有对边平行、对角相等、对角线互相平分的性质；菱形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四条边都相等的性质，而平行四边形的邻边不一定相等，因此四条边都相等是菱形具有而平行四边形不一定具有的性质。
2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是().
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.四个角都相等
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.四个角都相等
答案
B
解析
菱形和矩形均为特殊平行四边形，分析各选项：
选项A：对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具备，不符合要求；
选项B：菱形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才垂直，普通矩形对角线不垂直，该性质菱形具有而矩形不一定具有，符合要求；
选项C：对角线相等是矩形的性质，菱形对角线不一定相等，不符合要求；
选项D：四个角都相等（均为直角）是矩形的性质，菱形的角不一定相等，不符合要求。
综上，符合题意的是选项B。
选项A：对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具备，不符合要求；
选项B：菱形的对角线互相垂直，矩形只有是正方形时对角线才垂直，普通矩形对角线不垂直，该性质菱形具有而矩形不一定具有，符合要求；
选项C：对角线相等是矩形的性质，菱形对角线不一定相等，不符合要求；
选项D：四个角都相等（均为直角）是矩形的性质，菱形的角不一定相等，不符合要求。
综上，符合题意的是选项B。
3. 如图，菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$ 是 $CD$ 的中点，则 $OE$ 的长是().
A.$2.5$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
A.$2.5$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
A
解析
1. 由菱形$ABCD$的周长为20，得菱形边长为$20÷4=5$，即$BC=5$；
2. 菱形对角线互相平分，故$O$为$BD$中点，又$E$是$CD$中点，因此$OE$是$△ BCD$的中位线；
3. 根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
2. 菱形对角线互相平分，故$O$为$BD$中点，又$E$是$CD$中点，因此$OE$是$△ BCD$的中位线；
3. 根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$。
4. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$. 若 $∠ 1 = 70°$，则 $∠ 2$ 的度数为().
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
A
解析
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，∠2=∠DCA。
在Rt△DOC中，∠DOC=90°，∠1=70°，
∴ ∠DCA=90°−∠1=90°−70°=20°，
∴ ∠2=20°。
∴ AC⊥BD，∠2=∠DCA。
在Rt△DOC中，∠DOC=90°，∠1=70°，
∴ ∠DCA=90°−∠1=90°−70°=20°，
∴ ∠2=20°。
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ABCO$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，顶点 $C$ 的坐标是 $(-3,4)$，则顶点 $B$ 的坐标是().
A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,2)$
A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,2)$
答案
A
解析
1. 根据菱形的性质，可得$OC=BC$，且$BC// OA$，即$BC$平行于$x$轴。
2. 已知点$C(-3,4)$，由勾股定理计算$OC$的长度：$OC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，因此$BC=5$。
3. 因为$BC$平行于$x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$C$相同，为4；横坐标为$-3+5=2$，即点$B$的坐标为$(2,4)$。
2. 已知点$C(-3,4)$，由勾股定理计算$OC$的长度：$OC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$，因此$BC=5$。
3. 因为$BC$平行于$x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$C$相同，为4；横坐标为$-3+5=2$，即点$B$的坐标为$(2,4)$。
6. 一个菱形的两条对角线分别是 $6\ \mathrm{cm}$ 和 $8\ \mathrm{cm}$，则这个菱形的面积等于().
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$48\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$18\ \mathrm{cm}^2$
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$48\ \mathrm{cm}^2$
C.$12\ \mathrm{cm}^2$
D.$18\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
根据菱形的面积公式：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。代入数据计算：$\frac{1}{2}×6×8=24$（$\mathrm{cm}^2$）。
7. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$，垂足为 $H$，连接 $OH$. 若 $OA = 4$，$OH = 3$，则 $S_{\mathrm{菱形}ABCD}$ 为().
A.$6$
B.$8$
C.$12$
D.$24$
A.$6$
B.$8$
C.$12$
D.$24$
答案
D
解析
1. 由菱形性质可知：$AC ⊥ BD$，$OA=OC=4$，$O$为$BD$中点，因此$AC=8$；
2. 因为$DH ⊥ AB$，所以$△ DHB$是直角三角形，结合$O$是$BD$中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$OH=\frac{1}{2}BD$，已知$OH=3$，则$BD=6$；
3. 菱形面积公式为$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入得$\frac{1}{2} × 8 × 6=24$。
2. 因为$DH ⊥ AB$，所以$△ DHB$是直角三角形，结合$O$是$BD$中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$OH=\frac{1}{2}BD$，已知$OH=3$，则$BD=6$；
3. 菱形面积公式为$\frac{1}{2} × AC × BD$，代入得$\frac{1}{2} × 8 × 6=24$。
8. 菱形 $ABCD$ 的边长为 $\sqrt{5}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA = 1$，则菱形 $ABCD$ 的面积为.
答案
4
解析
1. 菱形对角线互相垂直且平分，因此$AC ⊥ BD$，$AC=2OA=2×1=2$；
2. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB=\sqrt{5}$，$OA=1$，由勾股定理得$OB=\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=2$，故$BD=2OB=4$；
3. 根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），得面积为$\frac{AC × BD}{2}=\frac{2×4}{2}=4$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB=\sqrt{5}$，$OA=1$，由勾股定理得$OB=\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2}=2$，故$BD=2OB=4$；
3. 根据菱形面积公式（对角线乘积的一半），得面积为$\frac{AC × BD}{2}=\frac{2×4}{2}=4$。
