1.（2023·惠山区期中）我们称长与宽之比为$\sqrt{2}:1$的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为$\sqrt{2}$，宽为1的矩形为基本奇异矩形，如图①所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙）拼成一般的奇异矩形，例如，图②中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形.
　　　　
（1）请在图③的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，在图④的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；（仿照图①，②标注必要的数据）；
（2）若用k个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数k有何特点？请叙述你的发现：______________________________；
（3）①用16个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为________________；
②用128个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为________________；
③用m个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为$32\sqrt{6}$，则m=________.

（1）如答图①②，相关数据已标出。

（2）若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则$k = 2^n$或$k = n^2(n≥0)（3）①4√3 ②8√6 ③2^11$

2.（2024·惠阳区一模）根据以下素材，探索完成任务.
|问题|你了解黄金矩形吗？|
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|问题背景| |
|素材1|矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等|
|素材2|宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形. 黄金矩形给我们以协调、匀称的美感. 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计. 如希腊的帕特农神庙（如图①）.||
|素材3|我们在学习二次根式时，常遇到$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简. 我们称之为“分母有理化”.|例如：$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}-1$|
|素材4|黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的|
|操作步骤|【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图②所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
【第二步】如图③，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
【第三步】折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图④中所示的AD处；
【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE（图⑤）就是黄金矩形.|
|解决问题| |
|任务1|化简：$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$；|
|任务2|设MN=x，请用含x的式子表示AB的长，并证明矩形BCDE是黄金矩形；|
|任务3|如图⑥，若MN=2，连接MC，CE，求点E到线段MC的距离.（提示：等面积法）||

解：任务1：$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2 - 1}=\sqrt{2}+1$。
任务2：设MN = x，则BC = MB = x，AC = $\frac{1}{2}x$，
$\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\frac{1}{2}x)^{2}}=\sqrt{x^{2}+\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
证明：由折叠的性质可知，AD = AB，
$\therefore CD = AD - AC = AB - AC=\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
$\therefore CD:BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x:x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\therefore$矩形BCDE是黄金矩形。
任务3：如答图.过点E做EH⊥MC于点H.
由答图可知，$S_{\triangle MCE}=\frac{1}{2}ME\cdot BC=\frac{1}{2}(MB + BE)\cdot BC=\frac{1}{2}(x+\frac{\sqrt{5}-1}{2}x)\cdot x=\frac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
$\because MN = 2$，
$\therefore S_{\triangle MCE}=\frac{1}{2}\times2^{2}\times\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\sqrt{5}+1$。
$\because MC=\sqrt{MB^{2}+BC^{2}}=2\sqrt{2}$，
$\therefore S_{\triangle MCE}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\cdot EH=\sqrt{2}EH$，
$\therefore EH=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore$点E到线段MC的距离是$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$。