21. 先化简，再求值：
（1）$(\frac{a + b}{a - b})^2 \cdot \frac{2a - 2b}{3a + 3b} - \frac{4a^2}{a^2 - b^2} \div \frac{3a}{b}$，其中$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$；
（2）$\frac{x - 2}{x - 1} \div (x + 1 - \frac{3}{x - 1})$，其中$x = \sqrt{5} - 4$.
（1）$(\frac{a + b}{a - b})^2 \cdot \frac{2a - 2b}{3a + 3b} - \frac{4a^2}{a^2 - b^2} \div \frac{3a}{b}$，其中$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$；
（2）$\frac{x - 2}{x - 1} \div (x + 1 - \frac{3}{x - 1})$，其中$x = \sqrt{5} - 4$.
答案
(1) 原式$=\frac{2a^2 + 2b^2}{3a^2 - 3b^2}$. 当$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，原式$=\frac{2\times(\sqrt{3})^2 + 2\times(\sqrt{2})^2}{3\times(\sqrt{3})^2 - 3\times(\sqrt{2})^2}=\frac{10}{3}$ (2) 原式$=\frac{1}{x + 2}$. 当$x = \sqrt{5}-4$时，原式$=\frac{1}{\sqrt{5}-4 + 2}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}+2$
22. （2023·张家界）阅读材料：
将边长分别为$a$、$a + \sqrt{b}$、$a + 2\sqrt{b}$、$a + 3\sqrt{b}$的正方形的面积分别记为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则$S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2 = [(a + \sqrt{b}) + a] \cdot [(a + \sqrt{b}) - a] = (2a + \sqrt{b}) \cdot \sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b}$. 例如：当$a = 1$，$b = 3$时，$S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3}$.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）当$a = 1$，$b = 3$时，$S_3 - S_2 = $________，$S_4 - S_3 = $________.
（2）当$a = 1$，$b = 3$时，把边长为$a + n\sqrt{b}$的正方形的面积记作$S_{n + 1}$，其中$n$是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出$S_{n + 1} - S_n$等于多少吗？请证明你的猜想.
（3）当$a = 1$，$b = 3$时，令$t_1 = S_2 - S_1$，$t_2 = S_3 - S_2$，$t_3 = S_4 - S_3$，$\cdots$，$t_n = S_{n + 1} - S_n$，且$T = t_1 + t_2 + t_3 + \cdots + t_{50}$，求$T$的值.
将边长分别为$a$、$a + \sqrt{b}$、$a + 2\sqrt{b}$、$a + 3\sqrt{b}$的正方形的面积分别记为$S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则$S_2 - S_1 = (a + \sqrt{b})^2 - a^2 = [(a + \sqrt{b}) + a] \cdot [(a + \sqrt{b}) - a] = (2a + \sqrt{b}) \cdot \sqrt{b} = b + 2a\sqrt{b}$. 例如：当$a = 1$，$b = 3$时，$S_2 - S_1 = 3 + 2\sqrt{3}$.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）当$a = 1$，$b = 3$时，$S_3 - S_2 = $________，$S_4 - S_3 = $________.
（2）当$a = 1$，$b = 3$时，把边长为$a + n\sqrt{b}$的正方形的面积记作$S_{n + 1}$，其中$n$是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出$S_{n + 1} - S_n$等于多少吗？请证明你的猜想.
（3）当$a = 1$，$b = 3$时，令$t_1 = S_2 - S_1$，$t_2 = S_3 - S_2$，$t_3 = S_4 - S_3$，$\cdots$，$t_n = S_{n + 1} - S_n$，且$T = t_1 + t_2 + t_3 + \cdots + t_{50}$，求$T$的值.
答案
(1) $9 + 2\sqrt{3}$ $15 + 2\sqrt{3}$ (2) $S_{n + 1}-S_n = 6n - 3 + 2\sqrt{3}$ $S_{n + 1}-S_n=(1+\sqrt{3}n)^2-[1+(n - 1)\sqrt{3}]^2=[2+(2n - 1)\cdot\sqrt{3}]\times\sqrt{3}=3(2n - 1)+2\sqrt{3}=6n - 3 + 2\sqrt{3}$ (3) 当$a = 1$，$b = 3$时，$T = t_1 + t_2 + t_3+\cdots+t_{50}=S_2 - S_1 + S_3 - S_2 + S_4 - S_3+\cdots+S_{51}-S_{50}=S_{51}-S_1=(1 + 50\sqrt{3})^2 - 1 = 7500 + 100\sqrt{3}$
