14. 如图，每个小正方形的边长为1，请在网格内画$\triangle ABC$，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为$2$、$4\sqrt{1.25}$、$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{2}}$. 求：
（1）$\triangle ABC$的周长与面积；
（2）$\triangle ABC$中最长边上的高.

$4\sqrt{1.25}=\sqrt{4^2\times1.25}=\sqrt{20}=\sqrt{2^2 + 4^2}$，$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{2}}=\sqrt{(\frac{4}{3})^2\times\frac{9}{2}}=\sqrt{8}=\sqrt{2^2 + 2^2}$，结合勾股定理，画出$\triangle ABC$如图所示(画法不唯一). (1) 如图，过点$B$作$BD\perp AC$，交$AC$的延长线于点$D$. $\because AC = 2$，$BD = 2$，$4\sqrt{1.25}=2\sqrt{5}=AB$，$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{2}}=2\sqrt{2}=BC$，$\therefore\triangle ABC$的周长为$2 + 2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$ (2) 由图，可知$\triangle ABC$的最长边为$AB = 2\sqrt{5}$，设该边上的高为$h$. $\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h = 2$，$\therefore h=\frac{2\times2}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

15. 已知$|4x - 8| + \sqrt{x - y - m} = 0$，当$y ＞ 0$时，$m$的取值范围是 （ ）
A. $0 ＜ m ＜ 1$
B. $m \geq 2$
C. $m ＜ 2$
D. $m \leq 2$

C

16. 如图，$AD // BC$，$AB \perp BC$，$AB = 3$，$E$为射线$BC$上一个动点，连接$AE$，将$\triangle ABE$沿$AE$折叠，点$B$落在点$B'$处，过点$B'$作$AD$的垂线并反向延长，分别交$AD$、$BC$于$M$、$N$两点. 当$B'$为线段$MN$的三等分点时，$BE$的长为 （ ）

A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{3}{2}$或$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

D

17. 若$y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$，则$x^y$的立方根是________.

2

18. （2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形$ABCD$的顶点$A$、$B$在$x$轴上，$AB = 2$，$A(1,0)$，$\angle DAB = 60^{\circ}$，将菱形$ABCD$绕点$A$旋转$90^{\circ}$后，得到菱形$AB_1C_1D_1$，则点$C_1$的坐标是________________.

$(1 - \sqrt{3},3)$或$(1+\sqrt{3},-3)$

19. 四边形$ABCD$是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$AB = 6$，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，点$E$在$AC$上. 若$OE = \sqrt{3}$，则$CE$的长为__________.

$4\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

20. 如图，$M$、$N$是正方形$ABCD$的边$CD$上的两个动点，满足$AM = BN$，连接$AC$交$BN$于点$E$，连接$DE$交$AM$于点$F$，连接$CF$. 若正方形的边长为6，则线段$CF$长的最小值是________.

$3\sqrt{5}-3$ 解析：先利用$Rt\triangle ADM\cong Rt\triangle BCN$、$\triangle DCE\cong\triangle BCE$证出$\angle AFD = 90^{\circ}$，取$AD$的中点$O$，连接$OF$、$OC$，注意到当$O$、$F$、$C$三点共线时，$CF$的长最小，利用勾股定理计算即可求解.