7. 已知$\sqrt{a - 2}$与$|b - 2a|$的值互为相反数，则$a + 2b$的值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

D

8. 当$a =$________时，代数式$\sqrt{2a + 1}-200$的值最小，这个最小值为________.

$-\frac{1}{2}$ $-200$

9. 已知$a、b$满足等式$a^{2}+6a + 9+\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$，则$a^{2023}b^{2024}$的值为________.

$-\frac{1}{3}$

10. 已知$a、b、c$都是实数，且满足$(2 - a)^{2}+\sqrt{a^{2}+b + c}+|c + 8|=0$. 若$ax^{2}+bx + c = 0$，求代数式$3x^{2}+6x + 108$的值.

由题意，得$\begin{cases}2 - a = 0 \\ a^{2}+b + c = 0 \\ c + 8 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 4 \\ c = - 8 \end{cases}$，$\therefore 2x^{2}+4x - 8 = 0$. $\therefore x^{2}+2x = 4$. $\therefore 3x^{2}+6x + 108 = 3(x^{2}+2x)+108 = 3\times4 + 108 = 120$

11. 已知实数$a、b、c$满足$|a - \sqrt{2}|+\sqrt{b - 2}+\sqrt{9 - 3c}=\sqrt{c - 3}$.
（1）求$a、b、c$的值；
（2）若满足上式的$a、c$是某等腰三角形的两边长，求该等腰三角形的周长.

(1) 由题意，得$\begin{cases}9 - 3c\geq0 \\ c - 3\geq0 \end{cases}$，解得$c = 3$. $\therefore |a-\sqrt{2}|+\sqrt{b - 2}=0$. $\therefore a=\sqrt{2}$，$b = 2$ (2) 当$a$是腰长，$c$是底边长时，该等腰三角形的腰长之和为$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}＜3$，不能构成三角形，舍去；当$c$是腰长，$a$是底边长时，$3-\sqrt{2}＜3＜3+\sqrt{2}$，能构成三角形，该等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+3 + 3=\sqrt{2}+6$. 综上所述，该等腰三角形的周长为$\sqrt{2}+6$

12. 已知实数$x、y、z$满足$\sqrt{18 - x - z}+\sqrt{-18 + x + z}=\sqrt{y - x - 7}+\sqrt{2x + y + z - 35}$，求长度分别为$x、y、z$的三条线段组成的三角形的面积.

根据题意，得$\begin{cases}18 - x - z\geq0 \\ - 18 + x + z\geq0 \end{cases}$，$\therefore x + z = 18$. $\therefore 0=\sqrt{y - x - 7}+\sqrt{2x + y + z - 35}$. $\therefore y - x - 7 = 0$，$2x + y + z - 35 = 0$. 联立$\begin{cases}x + z = 18 \\ y - x - 7 = 0 \\ 2x + y + z - 35 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 5 \\ y = 12 \\ z = 13 \end{cases}$，$\therefore z^{2}=x^{2}+y^{2}$，即长度分别为$x$、$y$、$z$的三条线段组成的三角形是直角三角形，且两条直角边的长分别是$5$、$12$. $\therefore$三角形的面积是$\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$