【例1】若$\frac{x}{y}= \frac{3}{4}$,则下列式子不正确的是( )

A.$\frac{x+y}{y}= \frac{7}{4}$
B.$\frac{x+3}{y+4}= \frac{3}{4}$
C.$\frac{y}{x-y}= 4$
D.$\frac{x}{3}= \frac{y}{4}$

C

设$x = 3k$，$y = 4k$（$k \neq 0$）。
A. $\frac{x + y}{y} = \frac{3k + 4k}{4k} = \frac{7k}{4k} = \frac{7}{4}$，正确。
B. $\frac{x + 3}{y + 4} = \frac{3k + 3}{4k + 4} = \frac{3(k + 1)}{4(k + 1)} = \frac{3}{4}$（$k \neq -1$），正确。
C. $\frac{y}{x - y} = \frac{4k}{3k - 4k} = \frac{4k}{-k} = -4 \neq 4$，不正确。
D. $\frac{x}{3} = \frac{3k}{3} = k$，$\frac{y}{4} = \frac{4k}{4} = k$，则$\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$，正确。
C

【变式1】已知3,4,5,x成比例,则x的值为( )

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{15}{4}$
C.$\frac{20}{3}$
D.6

C

因为3,4,5,x成比例，所以3:4=5:x，可得3x=4×5，3x=20，x=$\frac{20}{3}$。
C

【变式2】如图,乐器上的一根弦AB= 90cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则点D到点C的距离为______.(结果保留根号)

课标要点〈2〉三角形相似的判定与性质的综合应用

$(90\sqrt{5}-180)\ cm$

因为点$C$是靠近点$B$的黄金分割点，所以$AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
$AB = 90\space cm$，则$AC=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}×90 = 45(\sqrt{5}-1)\space cm$。
因为点$D$是靠近点$A$的黄金分割点，所以$BD=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}AB=45(\sqrt{5}-1)\space cm$。
$AD=AB - BD=90 - 45(\sqrt{5}-1)=90 - 45\sqrt{5}+45=(135 - 45\sqrt{5})\space cm$。
$DC=AC - AD=45(\sqrt{5}-1)-(135 - 45\sqrt{5})=45\sqrt{5}-45 - 135 + 45\sqrt{5}=(90\sqrt{5}-180)\space cm$。
$(90\sqrt{5}-180)\space cm$

【例2】如图,在平行四边形ABCD中,EF//AB交AD于E,交BD于F,DE:EA= 3:4,EF= 6,则CD的长为( )


A.14
B.17
C.8
D.12

A

证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵EF//AB，
∴EF//AB//CD，
∴△DEF∽△DAB。
∵DE:EA=3:4，
∴DE:DA=3:(3+4)=3:7。
∵△DEF∽△DAB，
∴EF/AB=DE/DA=3/7。
∵EF=6，
∴6/AB=3/7，解得AB=14。
∵AB=CD，
∴CD=14。
A

【变式1】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE//AB,如果$\frac{AE}{AC}= \frac{1}{3}$,AB= 6,那么AE= ______.

4

证明：设 $ AE = x $，因为 $ \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3} $，所以 $ AC = 3x $，则 $ EC = AC - AE = 3x - x = 2x $。
因为 $ DE // AB $，所以 $ \angle BAD = \angle ADE $（两直线平行，内错角相等）。
又因为 $ AD $ 平分 $ \angle BAC $，所以 $ \angle BAD = \angle DAE $，因此 $ \angle ADE = \angle DAE $，故 $ AE = DE = x $（等角对等边）。
由于 $ DE // AB $，所以 $ \triangle CDE \sim \triangle CBA $（相似三角形判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得 $ \frac{DE}{AB} = \frac{EC}{AC} $，即 $ \frac{x}{6} = \frac{2x}{3x} $。
化简右边：$ \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $，所以 $ \frac{x}{6} = \frac{2}{3} $，解得 $ x = 4 $。
$ AE = 4 $

【变式2】如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,点F在BD上,且∠BAF= ∠DBC,$\frac{AB}{AF}= \frac{BC}{FD}$.
(1)求证:△ABC∽△AFD.
(2)若AD= 2,BC= 5,△ADE的周长为20,求△BCE的周长.

解:
(1)证明:$\because \angle BAF=\angle DBC$,
$\therefore \angle BAF+\angle ABD=\angle DBC+\angle ABD$.
$\because \angle ABC=\angle DBC+\angle ABD$,$\angle AFD=\angle BAF+\angle ABD$,$\therefore \angle ABC=\angle AFD$.
$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$,
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle AFD$.
(2)$\because \triangle ABC\backsim \triangle AFD$,$\therefore \angle BCE=\angle ADE$.
$\because \angle BEC=\angle AED$,$\therefore \triangle BCE\backsim \triangle ADE$.
$\because AD=2$,$BC=5$,
$\therefore \frac{\triangle BCE\ 的周长}{\triangle ADE\ 的周长}=\frac{BC}{AD}=\frac{5}{2}$.
$\because \triangle ADE$的周长为20,
$\therefore \triangle BCE$的周长为$\frac{5}{2}× 20=50$,
$\therefore \triangle BCE$的周长为50.