1. 下列函数中,y 关于 x 的二次函数是( )
A.$ y= ax^{2}+bx+c $
B.$ y= x(x-1) $
C.$ y= \frac{1}{x^{2}} $
D.$ y= (x-1)^{2}-x^{2} $
A.$ y= ax^{2}+bx+c $
B.$ y= x(x-1) $
C.$ y= \frac{1}{x^{2}} $
D.$ y= (x-1)^{2}-x^{2} $
答案
B
解析
A选项：当$a=0$时，$y=ax^{2}+bx+c$不是二次函数；
B选项：$y=x(x - 1)=x^{2}-x$，是二次函数；
C选项：$y=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$，不是二次函数；
D选项：$y=(x - 1)^{2}-x^{2}=x^{2}-2x + 1 - x^{2}=-2x + 1$，是一次函数。
结论：B
B选项：$y=x(x - 1)=x^{2}-x$，是二次函数；
C选项：$y=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}$，不是二次函数；
D选项：$y=(x - 1)^{2}-x^{2}=x^{2}-2x + 1 - x^{2}=-2x + 1$，是一次函数。
结论：B
2. 二次函数 $ y= x^{2}-6x-1 $ 的常数项是( )
A.1
B.2
C.-6
D.-1
A.1
B.2
C.-6
D.-1
答案
D
解析
二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其中$c$是常数项。对于二次函数$y = x^2 - 6x - 1$，对比一般形式可得常数项$c=-1$。
D
D
3. 已知函数 $ y= x^{2}-2x+m $,当 $ x= 0 $ 时,y 的值为 -3,则 m 的值为( )
A.1
B.-2
C.-3
D.-5
A.1
B.-2
C.-3
D.-5
答案
C
解析
当$x = 0$时，$y=-3$，代入函数$y = x^{2}-2x+m$，得：
$-3=0^{2}-2×0+m$
解得$m=-3$。
C
$-3=0^{2}-2×0+m$
解得$m=-3$。
C
4. 下列问题中 y 与 x 具有二次函数关系的是( )
A.正方形的周长 y 与边长 x
B.速度一定时,路程 s 与时间 t
C.三角形的高一定时,面积 y 与底边长 x
D.正方形的面积 y 与边长 x
A.正方形的周长 y 与边长 x
B.速度一定时,路程 s 与时间 t
C.三角形的高一定时,面积 y 与底边长 x
D.正方形的面积 y 与边长 x
答案
D
解析
A. 正方形周长 $ y = 4x $，是一次函数关系；
B. 速度一定时，路程 $ s = vt $（$ v $ 为常数），是一次函数关系；
C. 三角形高一定时，面积 $ y = \frac{1}{2}hx $（$ h $ 为常数），是一次函数关系；
D. 正方形面积 $ y = x^2 $，是二次函数关系。
D
B. 速度一定时，路程 $ s = vt $（$ v $ 为常数），是一次函数关系；
C. 三角形高一定时，面积 $ y = \frac{1}{2}hx $（$ h $ 为常数），是一次函数关系；
D. 正方形面积 $ y = x^2 $，是二次函数关系。
D
5. 若函数 $ y= (m-3)x^{m^{2}-7}+2020x-2020 $ 是关于 x 的二次函数,则 m 的值为( )
A.3
B.0
C.-3
D.±3
A.3
B.0
C.-3
D.±3
答案
C
解析
解：因为函数$y = (m - 3)x^{m^2 - 7} + 2020x - 2020$是关于$x$的二次函数，所以需满足：
1. $m^2 - 7 = 2$，解得$m = \pm 3$；
2. $m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
综上，$m = -3$。
C
1. $m^2 - 7 = 2$，解得$m = \pm 3$；
2. $m - 3 \neq 0$，即$m \neq 3$。
综上，$m = -3$。
C
6. 已知二次函数 $ y= 1-5x+3x^{2} $,则二次项系数 $ a= $______,一次项系数 $ b= $______.
答案
3 -5
7. 某快递公司 10 月份揽收的快递有 20 万件,如果该公司第四季度每个月揽收的快递件数的增长率都为 $ x(x＞0) $,12 月份揽收的快递有 y 万件,那么 y 关于 x 的函数表达式为______,这个函数是______函数.
答案
$ y=20(1+x)^2 $ 二次
8. 写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
|二次函数|二次项系数|一次项系数|常数项|
| $ y= -x^{2} $ | | | |
| $ y= 3-2x^{2} $ | | | |
| $ y= x(x-1)+1 $ | | | |
|二次函数|二次项系数|一次项系数|常数项|
| $ y= -x^{2} $ | | | |
| $ y= 3-2x^{2} $ | | | |
| $ y= x(x-1)+1 $ | | | |
答案
|二次函数|二次项系数|一次项系数|常数项|
| $ y= -x^{2} $ | -1 | 0 | 0 |
| $ y= 3-2x^{2} $ | -2 | 0 | 3 |
| $ y= x(x-1)+1 $ | 1 | -1 | 1 |
| $ y= -x^{2} $ | -1 | 0 | 0 |
| $ y= 3-2x^{2} $ | -2 | 0 | 3 |
| $ y= x(x-1)+1 $ | 1 | -1 | 1 |
9. 已知函数 $ y= (m^{2}-1)x^{2}+(m-1)x-2 $(m 为常数).
(1)若这个函数是关于 x 的一次函数,求 m 的值.
(2)若这个函数是关于 x 的二次函数,求 m 的取值范围.
(1)若这个函数是关于 x 的一次函数,求 m 的值.
(2)若这个函数是关于 x 的二次函数,求 m 的取值范围.
答案
解:
(1)依题意,得 $ m^2-1=0 $ 且 $ m-1 \neq 0 $,所以 $ m=-1 $.
(2)依题意,得 $ m^2-1 \neq 0 $,所以 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -1 $.
(1)依题意,得 $ m^2-1=0 $ 且 $ m-1 \neq 0 $,所以 $ m=-1 $.
(2)依题意,得 $ m^2-1 \neq 0 $,所以 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq -1 $.
