10. 一个正方形的边长为 3,若边长增加 x,那么面积增加 y,则 y 关于 x 的函数表达式为( )
A.$ y= x^{2}+9 $
B.$ y= (x+3)^{2} $
C.$ y= x^{2}+6x $
D.$ y= 9-3x^{2} $
A.$ y= x^{2}+9 $
B.$ y= (x+3)^{2} $
C.$ y= x^{2}+6x $
D.$ y= 9-3x^{2} $
答案
C
解析
原正方形边长为3，面积为$3^2 = 9$。
边长增加$x$后，新边长为$x + 3$，新面积为$(x + 3)^2$。
面积增加量$y=(x + 3)^2-9$，展开得$y=x^2 + 6x + 9 - 9=x^2 + 6x$。
C
边长增加$x$后，新边长为$x + 3$，新面积为$(x + 3)^2$。
面积增加量$y=(x + 3)^2-9$，展开得$y=x^2 + 6x + 9 - 9=x^2 + 6x$。
C
11. 若函数 $ y= \begin{cases} x^{2}+2,x\leq2 \\ 2x,x＞2 \end{cases} $,则
(1)当 $ x= 8 $ 时,y 的值为______.
(2)当 $ y= 8 $ 时,x 的值为______.
(1)当 $ x= 8 $ 时,y 的值为______.
(2)当 $ y= 8 $ 时,x 的值为______.
答案
(1)16
(2)$-\sqrt{6}$或 4
12. 已知函数 $ y= (m^{2}-m)x^{2}+(m-1)x-2 $(m 为常数).
(1)若这个函数是关于 x 的一次函数,求 m 的值.
(2)若这个函数是关于 x 的二次函数,求 m 的取值范围.
(1)若这个函数是关于 x 的一次函数,求 m 的值.
(2)若这个函数是关于 x 的二次函数,求 m 的取值范围.
答案
解:
(1)依题意,$ m^2-m=0 $ 且 $ m-1 \neq 0 $,所以 $ m=0 $.
(2)依题意,$ m^2-m \neq 0 $,所以 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq 0 $.
(1)依题意,$ m^2-m=0 $ 且 $ m-1 \neq 0 $,所以 $ m=0 $.
(2)依题意,$ m^2-m \neq 0 $,所以 $ m \neq 1 $ 且 $ m \neq 0 $.
13. 如图,矩形 DEFG 的四个顶点分别在正三角形 ABC 的边上.已知 $ \triangle ABC $ 的边长为 4,记矩形 DEFG 的面积为 S,线段 BE 的长为 x.
(1)求 S 关于 x 的函数表达式.
(2)当 $ S= \sqrt{3} $ 时,求 x 的值.
(1)求 S 关于 x 的函数表达式.
(2)当 $ S= \sqrt{3} $ 时,求 x 的值.
答案
解:
(1)
∵三角形 ABC 为正三角形,
∴$ \angle B=60° $.
∵矩形 DEFG 的四个顶点分别在正三角形 ABC 的边上,
∴$ \angle BED=90° $,$ BE=CF=x $,$ EF=4-2x $,
∴$ DE=\sqrt{3}BE=\sqrt{3}x $,
∴$ S=DE \cdot EF=\sqrt{3}x(4-2x)=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x $ ($ 0 ＜ x ＜ 2 $).
(2)
∵$ S=\sqrt{3} $,
∴$ -2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x=\sqrt{3} $,
∴$ 2x^2-4x+1=0 $,解得 $ x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
∵$ 0 ＜ x ＜ 2 $,
∴$ x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
(1)
∵三角形 ABC 为正三角形,
∴$ \angle B=60° $.
∵矩形 DEFG 的四个顶点分别在正三角形 ABC 的边上,
∴$ \angle BED=90° $,$ BE=CF=x $,$ EF=4-2x $,
∴$ DE=\sqrt{3}BE=\sqrt{3}x $,
∴$ S=DE \cdot EF=\sqrt{3}x(4-2x)=-2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x $ ($ 0 ＜ x ＜ 2 $).
(2)
∵$ S=\sqrt{3} $,
∴$ -2\sqrt{3}x^2+4\sqrt{3}x=\sqrt{3} $,
∴$ 2x^2-4x+1=0 $,解得 $ x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
∵$ 0 ＜ x ＜ 2 $,
∴$ x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.
