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6. 如图，已知一次函数$y = kx + b$的图像与$x$轴交于点$A(-3,0)$，与$y$轴交于点$B$，与直线$CD$交于第一象限内点$E$处，且点$C$的坐标为$(0,4)$，点$D$的坐标为$(4,0)$，$AB:BE = 3:1$。求$k$、$b$的值。
答案
解:过点E作EF//OB ，与x轴交于点F ，
设直线CD的解析式为y= mx + n.
因为点C坐标为(0 ， 4)，点D坐标为(4 ， 0)
直线CD的解析式为y=-x +4
因为点A坐标为(-3 ， 0)
所以AO=3
因为AB：BE=3： 1， EF//OB
所以AO： OF=AB： BE=3 ： 1
因为AO=3
所以OF=1
所以点E的横坐标为1
因为点E在直线y= -x+4
所以E(1 ， 3)
将A(-3， 0)， E(1， 3)代入y= kx+b中,得
$\begin{cases}{0=-3k+b }\\{3=k+b} \end{cases}$
解得$k=\frac {3}{4}，$$b=\frac {9}{4}$
k的值为$\frac {3}{4}，$ b的值为$\frac {9}{4}$
设直线CD的解析式为y= mx + n.
因为点C坐标为(0 ， 4)，点D坐标为(4 ， 0)
直线CD的解析式为y=-x +4
因为点A坐标为(-3 ， 0)
所以AO=3
因为AB：BE=3： 1， EF//OB
所以AO： OF=AB： BE=3 ： 1
因为AO=3
所以OF=1
所以点E的横坐标为1
因为点E在直线y= -x+4
所以E(1 ， 3)
将A(-3， 0)， E(1， 3)代入y= kx+b中,得
$\begin{cases}{0=-3k+b }\\{3=k+b} \end{cases}$
解得$k=\frac {3}{4}，$$b=\frac {9}{4}$
k的值为$\frac {3}{4}，$ b的值为$\frac {9}{4}$
例1 如图6.4.3，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.
(1)求证：△ACD∽△ABC.
(2)图中还有其他相似三角形吗？如果有，请写出来.
(1)求证：△ACD∽△ABC.
(2)图中还有其他相似三角形吗？如果有，请写出来.
答案
证明：(1)因为CD⊥AB
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
例2 如图6.4.4，BD、CE为△ABC的两条高，它们的交点为O.
(1)请写出图中所有与△ABD相似的三角形；
(2)求证：$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$.
(1)请写出图中所有与△ABD相似的三角形；
(2)求证：$\frac{OD}{AD}=\frac{OC}{AB}$.
答案
证明：(1)因为CD⊥AB
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
解：(1)与△ABD相似的三角形有△ACE、△OBE、 △OCD
(2)因为BD，CE为△ABC的高
所以∠ADB=∠CDO=∠BEO=90°
因为∠BOE=∠COD
所以∠ABD=∠OCD
因为∠ABD=∠OCD，∠ADB=∠CDO
所以△ABD∽△OCD
所以$\frac {OD}{AD}=\frac {OC}{AB}$
所以∠C=90°，
∠ACD=90°-∠DCB
因为∠ACB= 90°
所以∠B=90°-∠DCB
所以∠C=∠ACB，∠ACD=∠B
所以△ACD∽△ABC
(2)有，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD
解：(1)与△ABD相似的三角形有△ACE、△OBE、 △OCD
(2)因为BD，CE为△ABC的高
所以∠ADB=∠CDO=∠BEO=90°
因为∠BOE=∠COD
所以∠ABD=∠OCD
因为∠ABD=∠OCD，∠ADB=∠CDO
所以△ABD∽△OCD
所以$\frac {OD}{AD}=\frac {OC}{AB}$
