14. (8分)如图，在矩形$ABCD$中，点$M$在$BC$上，$DP ⊥ AM$，$AM = 5$，$AB = 4$，$AD = 6$.求$DP$的长.

​解：因为四边形ABCD是矩形​
​所以AD//BC，∠B=90°​
​所以∠DAP=∠AMB​
​因为DP⊥AM.​
​所以∠DPA=∠B= 90°​
​所以△ABM∽△DPA​
​所以$\frac {AB}{AM}=\frac {DP}{AD}​$
​因为AM=5 ， AB=4 ， AD=6​
​所以$\frac {4}{5}=\frac {DP}{6}​$
​所以$DP=\frac {24}{5}​$

15. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = 12cm$，$AC = 16cm$，矩形$DEFG$的顶点都在$\triangle ABC$的边上，且$DE:EF = 3:5$.求矩形$DEFG$的周长.

​解：作AH⊥BC于H，​
​则AH//DE，DG//BC​
​所以$\frac {DE}{AH}=\frac {BD}{AB}=1-\frac {AD}{AB}=1-\frac {DG}{BC}​$
$​BC=\sqrt{12²+16²}=20\ \mathrm {cm}，$$AH=\frac {12×16}{20}=\frac {48}{5}\ \mathrm {cm}​$
​设$DE= 3x\ \mathrm {cm}，$​
​则$DG= EF = 5x\ \mathrm {cm}​$
​所以$\frac {3x}{\frac {48}{5}}=1-\frac {5x}{20}​$
​解得$x=\frac {16}{9}​$
​所以矩形DEFG的周长$= 2(DE+ DG)= 16x= \frac {256}{9}\ \mathrm {cm} .​$

16. (9分)已知：如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$在$\odot O$上，$CD ⊥ AB$，垂足为$D$，弦$CF$交$AB$于点$E$，$CD$的延长线交$AF$于点$G$.
求证：(1)$\angle ACD = \angle F$；(2)$AC^{2} = AG · AF$.

17. (10分)如图，点$P$在$\triangle ABC$的内部，点$F$、$D$在$AB$上，点$E$、$I$在$AC$上，点$H$、$G$在$BC$上，$FG // AC$，$HI // AB$，$DE // BC$，且$\triangle FDP$、$\triangle IPE$、$\triangle PHG$的面积分别为4、9和49.求$\triangle ABC$的面积.

​证明： (1)因为AB是○O的直径​
​所以∠ACB =90°​
​所以∠CAB+∠B=90°​
​因为CD⊥AB​
​所以∠CDA= 90°​
​所以∠CAB+∠ACD=90°​
​所以∠B=∠ACD​
​因为∠B=∠F​
​所以∠ACD=∠F​
​(2)因为∠ACD=∠F ，∠CAG=∠CAF​
​所以△ACG∽△AFC​
​所以$\frac {AC}{AF}=\frac {AG}{AC}​$
​所以AC²= AG×AF
​
​解： 因为FG//AC ， HI//AB​
​所以∠FPD=∠IEP，∠FDP=∠IPE​
​所以△FDP∽△IPE​
​因为△FDP、△IPE的面积分别为4、 9​
​所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△IPE}}=(\frac {DP}{PE})²=\frac {4}{9}​$
​所以$\frac {DP}{PE}=\frac {2}{3}​$
​同理可得，$\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}​$
​设DP=2x ，则PE=3x .​
​因为DP//BC ， HI//AB​
​所以∠FPD=∠PGH ，∠DFP=∠HPG ， ​
​所以△FDP∽△PHG​
​所以$\frac {DP}{HG}=\frac {FP}{PG}=\frac {2}{7}​$
​因为DP=2x， ​
​所以HG=7x​
​因为FG//AC ， HI//AB ， DE//BC​
​所以四边形DPHB和四边形PECG都为平行四边形​
​所以BH=DP=2x，CG=PE=3x，​
​所以BC=BH+HG+CG=12x​
​因为DE//BC，FG//AC，​
​所以∠FDP=∠B ，∠DFP=∠A​
​所以△FDP∽△ABC​
​所以$\frac {S_{△FDP}}{S_{△ABC}}=(\frac {DP}{BC})²=(\frac {2x}{12x})²=\frac {1}{36}​$
​因为$S_{△FDP}=4 ，$​
​所以$S_{△ABC}= 144​$