10. (★★)如图，将矩形 $ABCD$ 沿着对角线 $BD$ 折叠，使点 $C$ 落在 $C'$ 处，$BC'$ 交 $AD$ 于点 $E$，若 $AD = 8$，$AB = 4$，则 $DE$ 的长为.

5

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=4，AD//BC，∠A=90°。由折叠性质得：∠C'BD=∠CBD，BC'=BC=8，C'D=CD=4。∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C'BD，∴EB=ED。设DE=x，则AE=AD-DE=8-x，EB=DE=x。在Rt△ABE中，AB²+AE²=EB²，即4²+(8-x)²=x²，解得x=5。

11. (★★)已知四边形 $ABCD$ 为平行四边形，有下列条件：① $AB = AD$；② $CB = CD$；③ $AC = BD$；④ $∠ADC = ∠BCD$. 任选其中两个，不能判定四边形 $ABCD$ 为正方形的组合是【 】

A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

A

四边形ABCD为平行四边形。
①AB=AD：邻边相等，可判定为菱形；
②CB=CD：邻边相等，可判定为菱形；
③AC=BD：对角线相等，可判定为矩形；
④∠ADC=∠BCD：平行四边形中AD//BC，∠ADC+∠BCD=180°，若∠ADC=∠BCD，则∠ADC=90°，可判定为矩形。
选项分析：
A.①②：均为菱形条件，仅能判定为菱形，不能判定为正方形；
B.②③：菱形+矩形，可判定为正方形；
C.①④：菱形+矩形，可判定为正方形；
D.②④：菱形+矩形，可判定为正方形。

12. (★★)如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$∠A = 90^{\circ}$，$AB = 12\ cm$，$AD = 4\ cm$，$CD = 15\ cm$. $P$ 是线段 $AB$ 上一点，$AP = 3\ cm$，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $2\ cm/s$ 的速度向点 $D$ 运动，到达 $D$ 点后运动立即停止，则 $t$ 为 $s$ 时，$△ DPQ$ 为直角三角形.

10/3或6

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。则A(0,0)，D(0,4)，B(12,0)，C(15,4)，P(3,0)。Q从C(15,4)向D(0,4)运动，速度2cm/s，t秒后Q(15-2t,4)，t∈[0,7.5]。
△DPQ为直角三角形分三种情况：
1. 直角在D：向量DP=(3,-4)，DQ=(15-2t,0)。数量积3(15-2t)=0，t=7.5，此时Q与D重合，构不成三角形，舍去。
2. 直角在P：向量PD=(-3,4)，PQ=(12-2t,4)。数量积-3(12-2t)+4×4=0，解得t=10/3。
3. 直角在Q：向量QD=(2t-15,0)，QP=(2t-12,-4)。数量积(2t-15)(2t-12)=0，t=7.5(舍去)或t=6。
综上，t=10/3或6。

13. (★★)如图，E 是矩形 ABCD 的对角线AC 的延长线上一点，若 $ BE = \frac{1}{2}AC $，$ ∠ACB = 62.5° $，则 $ ∠E $ 的度数为 【 】

A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 70° $
D.$ 80° $

A

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，对角线互相平分，即AO=OC=BO=OD=1/2AC。
∵BE=1/2AC，∴BE=BO，故△BOE为等腰三角形，∠E=∠BOE。
在△OBC中，OB=OC（矩形对角线性质），∠ACB=∠OCB=62.5°，∴∠OBC=∠OCB=62.5°。
∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-62.5°-62.5°=55°。
∵E在AC延长线上，O、C、E共线，∴∠BOE=∠BOC=55°，故∠E=∠BOE=55°。

14. (★★)如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上一点，且 $ BP = BC $，则 $ ∠BPC $ 的度数为.

67.5°（或写为$67.5°$）

在正方形ABCD中，BD是对角线，因此∠ABC = 90°，且对角线BD将正方形分成两个全等的直角三角形，∠ABD = ∠DBC = 45°。
已知BP = BC，因此三角形BPC是等腰三角形，且∠BPC = ∠PCB。
设∠BPC = ∠PCB = x，则∠PBC = 45°。
根据三角形内角和定理，三角形BPC的三个内角之和为180°，即：
x + x + 45° = 180°
2x + 45° = 180°
2x = 135°
x = 67.5°
因此，∠BPC = 67.5°。

15. (★★)如图，在 $ □ABCD $ 中，点 E，F 在AC 上，且 $ AF = CE $，点 G，H 分别在 AB，CD 上，且 $ AG = CH $，AC 与 GH 相交于点 O.求证：
(1) $ EG // FH $；
(2) GH，EF 互相平分.

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等），即∠GAE=∠HCF。
∵AF=CE，AC=AC，∴AE=AC-CE=AC-AF=CF。
在△AGE和△CHF中，$\{\begin{array}{l} AG=CH\\ ∠GAE=∠HCF\\ AE=CF\end{array} $，∴△AGE≌△CHF（SAS）。
∴∠AEG=∠CFH，∴EG//FH（内错角相等，两直线平行）。
(2) ∵AB//CD，∴∠OAG=∠OCH（两直线平行，内错角相等）。
在△AOG和△COH中，$\{\begin{array}{l} ∠OAG=∠OCH\\ ∠AOG=∠COH\\ AG=CH\end{array} $，∴△AOG≌△COH（AAS）。
∴AO=CO，GO=HO。
∵AF=CE，∴AF-AO=CE-CO，即FO=EO。
∵GO=HO且EO=FO，∴GH，EF互相平分。