15. (★★★)(1)计算:$(a+b)(a-b)=$;$(a-1)(a+1)(a^{2}+1)=$。
(2)计算:$(2+1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×$$(2^{8}+1)×\dots×(2^{1024}+1)+1=$,并直接写出上面结果的个位数字是。
(3)数学公式逆用,有时能达到简便运算的效果。根据上面用到的数学公式,从下面的两个题中任选一个题进行计算。
①计算:$100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+\dots+2^{2}-1^{2}$;
②计算:$(1-\dfrac{1}{2^{2}})×(1-\dfrac{1}{3^{2}})×(1-\dfrac{1}{4^{2}})×\dots×$$(1-\dfrac{1}{2026^{2}})×(1-\dfrac{1}{2027^{2}})$。

15. (1)$a^{2}-b^{2}$ $a^{4}-1$
(2)$2^{2048}$ 6 提示:原式$=(2-1)×(2+1)×$
$(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×... ×(2^{1024}+1)+1$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×... ×$
$(2^{1024}+1)+1$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×... ×(2^{1024}+1)+1$
$=(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×... ×(2^{1024}+1)+1$
$=2^{2048}-1+1$
$=2^{2048}$。
因为$2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16,2^{5}=32,2^{6}=$
$64,2^{7}=128,2^{8}=256,...$,而$2048÷4=512$,
所以$2^{2048}$的个位数字是6。
(3)以下选择其中之一进行计算即可。
①原式$=(100^{2}-99^{2})+(98^{2}-97^{2})+... +(2^{2}-$
$1^{2})$
$=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+... +$
$(2+1)(2-1)$
$=100+99+98+97+... +4+3+2+1$
$=\frac{(100+1)×100}{2}$
$=5050$。
②原式$=(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×... ×$
$(1-\frac{1}{2026^{2}})×(1-\frac{1}{2027^{2}})$
$=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})·$
$(1+\frac{1}{4})... (1-\frac{1}{2026})(1+\frac{1}{2026})(1-\frac{1}{2027})(1+\frac{1}{2027})$
$=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×... ×\frac{2025}{2026}×\frac{2027}{2026}×$
$\frac{2026}{2027}×\frac{2028}{2027}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2028}{2027}$
$=\frac{1014}{2027}$。

16. (★★★)你能计算$(a-1)(a^{99}+a^{98}+$$a^{97}+\dots+a^{2}+a+1)$吗? 我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论。
(1)先填空:$(a-1)(a+1)=$;
$(a-1)(a^{2}+a+1)=$;
$(a-1)(a^{3}+a^{2}+a+1)=$。
(2)由此猜想:$(a-1)(a^{99}+a^{98}+a^{97}+\dots+$$a^{2}+a+1)=$。
(3)利用这个结论,请你解决下面的问题:
$2^{199}+2^{198}+2^{197}+2^{196}+\dots+2^{2}+2+1$。

16. (1)$a^{2}-1$ $a^{3}-1$ $a^{4}-1$
(2)$a^{100}-1$
(3)$2^{199}+2^{198}+2^{197}+2^{196}+... +2^{2}+2+1$
$=(2-1)(2^{199}+2^{198}+2^{197}+... +2^{2}+2+1)$
$=2^{200}-1$。