1. （1）观察下面的图形，填一填。
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = (\quad)$
　　　　$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = (\quad)$
　　　
　　　$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = (\quad)$
　　　$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \frac{1}{16} - \frac{1}{32} = (\quad)$
（2）我发现：$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \cdots - \frac{1}{\underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n个2相乘}} = (\quad)$
　　　
（3）根据发现的规律直接填出得数。
　　　$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} - \cdots - \frac{1}{128} = (\quad)$

(1) $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{32}$ (2) $\frac{1}{\underbrace{2\times2\times\cdots\times2}_{n个2相乘}}$ (3) $\frac{1}{128}$

2. 小妍在解决“$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots$”时，用两组不同颜色的正方形拼接，构造成如下的长方形来研究。
（1）根据图形的规律填空。
　　　
　　　
　　　$1 = \frac{1 \times 2}{2}$
　　　$1 + 2 = \frac{2 \times 3}{2}$
　　　$(\quad)$
　　　$(\quad)$
（2）根据规律计算：$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots + 10 = (\quad)$。

(1) $1 + 2 + 3 = \frac{3\times4}{2}$ $1 + 2 + 3 + 4 = \frac{4\times5}{2}$
(2) 55

3. 哥德巴赫猜想的具体内容是：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和；任何一个大于5的奇数都可以写成三个质数之和，如$4 = 2 + 2$，$11 = 3 + 3 + 5$。请写出四个符合哥德巴赫猜想的算式。
　$(\quad)=(\quad)+(\quad)$
　$(\quad)=(\quad)+(\quad)$
　$(\quad)=(\quad)+(\quad)+(\quad)$
　$(\quad)=(\quad)+(\quad)+(\quad)$

$6 = 3 + 3$ $8 = 3 + 5$ $9 = 2 + 2 + 5$ $15 = 2 + 2 + 11$（答案不唯一）

4. 已知$\frac{3}{4 \times 7} = \frac{1}{4} - \frac{1}{7}$，$\frac{3}{7 \times 10} = \frac{1}{7} - \frac{1}{10}$，$\frac{3}{10 \times 13} = \frac{1}{10} - \frac{1}{13}\cdots\cdots$
根据你发现的规律用简便方法计算：
　$\frac{3}{4} + \frac{3}{28} + \frac{3}{70} + \frac{3}{130} + \frac{3}{208}$

$\frac{15}{16}$

5. 观察下面各式：
　$18 \times 20 = 19^{2} - 1$
　$298 \times 300 = 299^{2} - 1$
　$3998 \times 4000 = 3999^{2} - 1$
（1）根据你发现的规律填空。
　　　$2020 \times 2022 = (\quad)^{2} - 1$
　　　$2023 \times 2025 = (\quad)^{2} - 1$
（2）运用规律计算：
　　　$9 \times 11 + 99 \times 101 + 999 \times 1001$

(1) 2021 2024
(2) 原式$=(10^{2}-1)+(100^{2}-1)+(1000^{2}-1)$
$=100 + 10000 + 1000000 - 3$
$=1010097$