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1. 计算$\frac{1}{x} - \frac{1}{x - y}$，结果是(
A.$- \frac{y}{x(x - y)}$
B.$\frac{2x + y}{x(x - y)}$
C.$\frac{2x - y}{x(x - y)}$
D.$\frac{y}{x(x - y)}$
A
)A.$- \frac{y}{x(x - y)}$
B.$\frac{2x + y}{x(x - y)}$
C.$\frac{2x - y}{x(x - y)}$
D.$\frac{y}{x(x - y)}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道异分母分式减法运算题，解题思路是先将异分母分式转化为同分母分式，再进行减法运算。首先确定两个分式的最简公分母，$\frac{1}{x}$的分母是$x$，$\frac{1}{x-y}$的分母是$x-y$，两者无公因式，最简公分母为$x(x-y)$；接着给两个分式分别通分，化为以$x(x-y)$为分母的同分母分式；最后按照同分母分式减法法则，分子相减、分母不变，再化简分子得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{x} - \frac{1}{x - y}&=\frac{x - y}{x(x - y)} - \frac{x}{x(x - y)}\\&=\frac{(x - y) - x}{x(x - y)}\\&=\frac{x - y - x}{x(x - y)}\\&=\frac{-y}{x(x - y)}\\&=-\frac{y}{x(x - y)}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
异分母分式减法法则、分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式的通分方法和减法运算中的符号处理，计算时需仔细核对分子的运算步骤，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这是一道异分母分式减法运算题，解题思路是先将异分母分式转化为同分母分式，再进行减法运算。首先确定两个分式的最简公分母，$\frac{1}{x}$的分母是$x$，$\frac{1}{x-y}$的分母是$x-y$，两者无公因式，最简公分母为$x(x-y)$；接着给两个分式分别通分，化为以$x(x-y)$为分母的同分母分式；最后按照同分母分式减法法则，分子相减、分母不变，再化简分子得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{x} - \frac{1}{x - y}&=\frac{x - y}{x(x - y)} - \frac{x}{x(x - y)}\\&=\frac{(x - y) - x}{x(x - y)}\\&=\frac{x - y - x}{x(x - y)}\\&=\frac{-y}{x(x - y)}\\&=-\frac{y}{x(x - y)}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
异分母分式减法法则、分式通分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查异分母分式的通分方法和减法运算中的符号处理，计算时需仔细核对分子的运算步骤，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 计算$\frac{1}{a - 1} + \frac{a}{1 - a}$，结果是
$-1$
。答案
2. $-1$
解析
【分析】
首先观察两个分式的分母，$a-1$和$1-a$互为相反数，我们可以通过变形将它们转化为相同的分母，再利用同分母分式的加减法法则进行计算。具体思路是：先把$\frac{a}{1-a}$的分母转化为$a-1$，注意符号变化，然后将两个同分母分式的分子相加减，最后对分子分母进行约分得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} + \frac{a}{1 - a}&=\frac{1}{a - 1} + \frac{a}{-(a - 1)}\\&=\frac{1}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}\\&=\frac{1 - a}{a - 1}\\&=\frac{-(a - 1)}{a - 1}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的加减运算、分式的约分
【点评】
本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是将异分母分式转化为同分母分式，转化过程中要注意符号的正确处理，最后通过约分得到最简结果，属于基础题型，需要熟练掌握分式运算的基本法则。
【难度系数】
0.8
首先观察两个分式的分母，$a-1$和$1-a$互为相反数，我们可以通过变形将它们转化为相同的分母，再利用同分母分式的加减法法则进行计算。具体思路是：先把$\frac{a}{1-a}$的分母转化为$a-1$，注意符号变化，然后将两个同分母分式的分子相加减，最后对分子分母进行约分得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{a - 1} + \frac{a}{1 - a}&=\frac{1}{a - 1} + \frac{a}{-(a - 1)}\\&=\frac{1}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}\\&=\frac{1 - a}{a - 1}\\&=\frac{-(a - 1)}{a - 1}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的加减运算、分式的约分
【点评】
本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是将异分母分式转化为同分母分式，转化过程中要注意符号的正确处理，最后通过约分得到最简结果，属于基础题型，需要熟练掌握分式运算的基本法则。
【难度系数】
0.8
3. 如果$a + 2b = - 1$，那么代数式$(\frac{4b}{a - 2b} + 2) · \frac{a^2 - 4b^2}{a}$的值为
$-2$
。答案
3. $-2$
解析
【分析】
这道题是代数式求值问题，直接代入已知条件计算会比较繁琐，因此应先对代数式化简，再用整体代入法求值。解题思路为：先处理括号内的分式加法，将整数2通分转化为同分母分式后合并分子；再把后面分式的分子用平方差公式分解因式，接着进行约分，最终化简成含$a+2b$的形式，最后代入$a+2b=-1$计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{4b}{a - 2b} + 2) · \frac{a^2 - 4b^2}{a}\\=&(\frac{4b}{a - 2b} + \frac{2(a - 2b)}{a - 2b}) · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&\frac{4b + 2a - 4b}{a - 2b} · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&\frac{2a}{a - 2b} · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&2(a + 2b)\end{aligned}$
将$a + 2b = -1$代入化简后的式子：
$2×(-1) = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式、整体代入思想
【点评】
本题考查分式混合运算与代数式求值，核心是先通过通分、因式分解、约分简化代数式，再利用整体代入思想计算，既简化了运算过程，又避免了直接代入的复杂计算，解题时需注意分式运算的符号规范和因式分解的准确性。
【难度系数】
0.7
这道题是代数式求值问题，直接代入已知条件计算会比较繁琐，因此应先对代数式化简，再用整体代入法求值。解题思路为：先处理括号内的分式加法，将整数2通分转化为同分母分式后合并分子；再把后面分式的分子用平方差公式分解因式，接着进行约分，最终化简成含$a+2b$的形式，最后代入$a+2b=-1$计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(\frac{4b}{a - 2b} + 2) · \frac{a^2 - 4b^2}{a}\\=&(\frac{4b}{a - 2b} + \frac{2(a - 2b)}{a - 2b}) · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&\frac{4b + 2a - 4b}{a - 2b} · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&\frac{2a}{a - 2b} · \frac{(a + 2b)(a - 2b)}{a}\\=&2(a + 2b)\end{aligned}$
将$a + 2b = -1$代入化简后的式子：
$2×(-1) = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式、整体代入思想
【点评】
本题考查分式混合运算与代数式求值，核心是先通过通分、因式分解、约分简化代数式，再利用整体代入思想计算，既简化了运算过程，又避免了直接代入的复杂计算，解题时需注意分式运算的符号规范和因式分解的准确性。
【难度系数】
0.7
4. 当$x = 2$时，代数式$\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 1} ÷ \frac{x - 1}{x^2 + x} + x$的值是
4
。答案
4. 4【解析】原式=$\frac{(x - 1)^2}{x + 1}·\frac{x(x + 1)}{x - 1}+x = x(x - 1)+x = x^2 - x + x = x^2$。
当$x = 2$时,原式=$2^2 = 4$。
当$x = 2$时,原式=$2^2 = 4$。
解析
【分析】
这是一道分式混合运算与代数式求值结合的题目。解题思路为先化简原式，再代入x的值计算：第一步，根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第二步，对分子分母进行因式分解，如$x^2-2x+1$分解为$(x-1)^2$，$x^2+x$提取公因式得$x(x+1)$，便于约分；第三步，约分后进行整式运算化简式子；最后将$x=2$代入化简后的式子算出结果。
【解析】
原式=$\frac{(x - 1)^2}{x + 1}·\frac{x(x + 1)}{x - 1}+x$
=$x(x - 1)+x$
=$x^2 - x + x$
=$x^2$
当$x = 2$时，原式=$2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查分式混合运算与代数式求值，需熟练掌握分式除法法则和因式分解方法来化简式子，运算时遵循先乘除后加减的顺序，通过约分简化计算，最后代入求值更简便，属于基础运算题型。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算与代数式求值结合的题目。解题思路为先化简原式，再代入x的值计算：第一步，根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数）；第二步，对分子分母进行因式分解，如$x^2-2x+1$分解为$(x-1)^2$，$x^2+x$提取公因式得$x(x+1)$，便于约分；第三步，约分后进行整式运算化简式子；最后将$x=2$代入化简后的式子算出结果。
【解析】
原式=$\frac{(x - 1)^2}{x + 1}·\frac{x(x + 1)}{x - 1}+x$
=$x(x - 1)+x$
=$x^2 - x + x$
=$x^2$
当$x = 2$时，原式=$2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查分式混合运算与代数式求值，需熟练掌握分式除法法则和因式分解方法来化简式子，运算时遵循先乘除后加减的顺序，通过约分简化计算，最后代入求值更简便，属于基础运算题型。
【难度系数】
0.8
5. 阅读下列计算过程，回答问题：
解：$\frac{x - 3}{x^2 - 1} - \frac{3}{1 - x} = \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{3}{x - 1}······$第一步
$= \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}······$第二步
$= x - 3 - 3(x + 1)······$第三步
$= - 2x - 6$。$······$第四步
(1)上述计算过程中，从第
(2)从第二步到第三步是否正确？答：
(3)请你写出正确的解答过程。
解：$\frac{x - 3}{x^2 - 1} - \frac{3}{1 - x} = \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{3}{x - 1}······$第一步
$= \frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}······$第二步
$= x - 3 - 3(x + 1)······$第三步
$= - 2x - 6$。$······$第四步
(1)上述计算过程中，从第
一
步开始出现错误。(2)从第二步到第三步是否正确？答：
否
。(填“是”或“否”)(3)请你写出正确的解答过程。
答案
解:(1)一(2)否
(3)$\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}$
=$\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{4x}{x^2 - 1}$。
(3)$\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}$
=$\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{4x}{x^2 - 1}$。
解析
【分析】
要解决这道分式运算的正误判断及修正问题，我们可以按以下思路思考：
1. 对于第(1)问，先观察第一步的变形：分母$1-x$可转化为$-(x-1)$，所以$-\frac{3}{1-x}$应该变形为$+\frac{3}{x-1}$，而题目中第一步写成了$-\frac{3}{x-1}$，符号处理错误，因此第一步就出现错误。
2. 对于第(2)问，分式加减运算的规则是：通分后分子相加减，分母保持不变，不能直接去掉分母，所以第二步到第三步直接去掉分母的做法是错误的。
3. 对于第(3)问，先正确处理分母的符号，将原式化为同分母分式，再按照分式加减法则，分子相加后化简即可得到正确结果。
【解析】
(1) 第一步中，$\frac{3}{1-x}$变形时，因为$1-x=-(x-1)$，所以$-\frac{3}{1-x}=-\frac{3}{-(x-1)}=\frac{3}{x-1}$，而题目中第一步写成了$-\frac{3}{x-1}$，符号错误，因此从第一步开始出现错误。
(2) 分式加减运算中，通分后应该是分子相加减，分母不变，第二步到第三步直接去掉了分母，不符合分式加减的运算规则，所以这一步不正确，答案为“否”。
(3) 正确的解答过程：
$\begin{aligned}\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}&=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}\\&=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{4x}{x^2 - 1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一
(2) 否
(3)$\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{4x}{x^2 - 1}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的通分
【点评】
本题重点考查分式加减运算的基本规则，易错点在于分母符号的处理和分式加减时的运算逻辑，提醒同学们在进行分式运算时，要注意分母的符号转化，严格遵循“通分后分子相加减、分母不变”的法则，避免出现符号错误和随意去分母的问题。
【难度系数】
0.6
要解决这道分式运算的正误判断及修正问题，我们可以按以下思路思考：
1. 对于第(1)问，先观察第一步的变形：分母$1-x$可转化为$-(x-1)$，所以$-\frac{3}{1-x}$应该变形为$+\frac{3}{x-1}$，而题目中第一步写成了$-\frac{3}{x-1}$，符号处理错误，因此第一步就出现错误。
2. 对于第(2)问，分式加减运算的规则是：通分后分子相加减，分母保持不变，不能直接去掉分母，所以第二步到第三步直接去掉分母的做法是错误的。
3. 对于第(3)问，先正确处理分母的符号，将原式化为同分母分式，再按照分式加减法则，分子相加后化简即可得到正确结果。
【解析】
(1) 第一步中，$\frac{3}{1-x}$变形时，因为$1-x=-(x-1)$，所以$-\frac{3}{1-x}=-\frac{3}{-(x-1)}=\frac{3}{x-1}$，而题目中第一步写成了$-\frac{3}{x-1}$，符号错误，因此从第一步开始出现错误。
(2) 分式加减运算中，通分后应该是分子相加减，分母不变，第二步到第三步直接去掉了分母，不符合分式加减的运算规则，所以这一步不正确，答案为“否”。
(3) 正确的解答过程：
$\begin{aligned}\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}&=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}\\&=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}\\&=\frac{4x}{x^2 - 1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 一
(2) 否
(3)$\frac{x - 3}{x^2 - 1}-\frac{3}{1 - x}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3}{x - 1}=\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}+\frac{3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 3 + 3x + 3}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{4x}{x^2 - 1}$
【知识点】
分式的加减运算、分式的通分
【点评】
本题重点考查分式加减运算的基本规则，易错点在于分母符号的处理和分式加减时的运算逻辑，提醒同学们在进行分式运算时，要注意分母的符号转化，严格遵循“通分后分子相加减、分母不变”的法则，避免出现符号错误和随意去分母的问题。
【难度系数】
0.6
6. 计算：
(1)$\frac{a^2 - b^2}{4a^2 + 12ab} ÷ \frac{a - b}{a + 3b}$。
(2)$\frac{a - 2}{1 + 2a + a^2} ÷ (a - \frac{3a}{a + 1})$。
(3)$(\frac{3a}{a - 3} - \frac{a}{a + 3}) · \frac{a^2 - 9}{a}$。
(4)$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}) ÷ (\frac{1}{x} + \frac{1}{a})$。
(1)$\frac{a^2 - b^2}{4a^2 + 12ab} ÷ \frac{a - b}{a + 3b}$。
(2)$\frac{a - 2}{1 + 2a + a^2} ÷ (a - \frac{3a}{a + 1})$。
(3)$(\frac{3a}{a - 3} - \frac{a}{a + 3}) · \frac{a^2 - 9}{a}$。
(4)$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}) ÷ (\frac{1}{x} + \frac{1}{a})$。
答案
解:(1)原式=$\frac{(a + b)(a - b)}{4a(a + 3b)}·\frac{a + 3b}{a - b}=\frac{a + b}{4a}$。
(2)原式=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}÷\frac{a(a + 1)-3a}{a + 1}=\frac{a - 2}{(a + 1)^2}·\frac{a + 1}{a^2 + a - 3a}=\frac{a - 2}{a + 1}·\frac{1}{a(a - 2)}=\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{1}{a^2 + a}$。
(3)原式=$\frac{3a(a + 3)-a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{3a^2 + 9a - a^2 + 3a}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{2a(a + 6)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}=2a + 12$。
(4)原式=$(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})÷(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})=\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a - x}{ax}$。
(2)原式=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}÷\frac{a(a + 1)-3a}{a + 1}=\frac{a - 2}{(a + 1)^2}·\frac{a + 1}{a^2 + a - 3a}=\frac{a - 2}{a + 1}·\frac{1}{a(a - 2)}=\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{1}{a^2 + a}$。
(3)原式=$\frac{3a(a + 3)-a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{3a^2 + 9a - a^2 + 3a}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{2a(a + 6)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}=2a + 12$。
(4)原式=$(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})÷(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})=\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a - x}{ax}$。
解析
【分析】
这是一组分式混合运算题，解题需遵循分式运算核心法则，思路如下：
1. 分式除法先转化为乘法（除以分式等于乘其倒数）；
2. 对多项式优先因式分解（如平方差、完全平方公式），便于后续约分；
3. 有括号先算括号内，括号内分式加减需先通分化为同分母分式再计算；
4. 运算中随时观察分子分母公因式，及时约分，最终结果化为最简分式或整式。
具体到各小题：
(1) 先因式分解分子分母，转除法为乘法后约去公因式；
(2) 先分解分母，再计算括号内分式减法，通分化简后转除法为乘法，约去公因式；
(3) 先通分计算括号内分式减法，合并分子后对后续分式因式分解，再相乘约分；
(4) 利用平方差公式分解括号内的分式差，再与后面的分式商约分简化。
【解析】
(1) 原式=$\frac{(a + b)(a - b)}{4a(a + 3b)}·\frac{a + 3b}{a - b}=\frac{a + b}{4a}$；
(2) 原式=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}÷\frac{a(a + 1)-3a}{a + 1}$
=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}·\frac{a + 1}{a^2 + a - 3a}$
=$\frac{a - 2}{a + 1}·\frac{1}{a(a - 2)}$
=$\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{1}{a^2 + a}$；
(3) 原式=$\frac{3a(a + 3)-a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{3a^2 + 9a - a^2 + 3a}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{2a(a + 6)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}=2a + 12$；
(4) 原式=$(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})÷(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})=\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a - x}{ax}$。
【答案】
(1) $\frac{a + b}{4a}$；
(2) $\frac{1}{a^2 + a}$；
(3) $2a + 12$；
(4) $\frac{a - x}{ax}$。
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解（公式法）、分式混合运算
【点评】
本题聚焦分式混合运算，核心考查因式分解的应用与运算顺序的遵循。运算中需注意公因式的准确识别与约分，避免符号错误，合理运用平方差、完全平方公式可大幅简化计算，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.6
这是一组分式混合运算题，解题需遵循分式运算核心法则，思路如下：
1. 分式除法先转化为乘法（除以分式等于乘其倒数）；
2. 对多项式优先因式分解（如平方差、完全平方公式），便于后续约分；
3. 有括号先算括号内，括号内分式加减需先通分化为同分母分式再计算；
4. 运算中随时观察分子分母公因式，及时约分，最终结果化为最简分式或整式。
具体到各小题：
(1) 先因式分解分子分母，转除法为乘法后约去公因式；
(2) 先分解分母，再计算括号内分式减法，通分化简后转除法为乘法，约去公因式；
(3) 先通分计算括号内分式减法，合并分子后对后续分式因式分解，再相乘约分；
(4) 利用平方差公式分解括号内的分式差，再与后面的分式商约分简化。
【解析】
(1) 原式=$\frac{(a + b)(a - b)}{4a(a + 3b)}·\frac{a + 3b}{a - b}=\frac{a + b}{4a}$；
(2) 原式=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}÷\frac{a(a + 1)-3a}{a + 1}$
=$\frac{a - 2}{(a + 1)^2}·\frac{a + 1}{a^2 + a - 3a}$
=$\frac{a - 2}{a + 1}·\frac{1}{a(a - 2)}$
=$\frac{1}{a(a + 1)}=\frac{1}{a^2 + a}$；
(3) 原式=$\frac{3a(a + 3)-a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{3a^2 + 9a - a^2 + 3a}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}$
=$\frac{2a(a + 6)}{(a - 3)(a + 3)}·\frac{(a + 3)(a - 3)}{a}=2a + 12$；
(4) 原式=$(\frac{1}{x}-\frac{1}{a})(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})÷(\frac{1}{x}+\frac{1}{a})=\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a - x}{ax}$。
【答案】
(1) $\frac{a + b}{4a}$；
(2) $\frac{1}{a^2 + a}$；
(3) $2a + 12$；
(4) $\frac{a - x}{ax}$。
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解（公式法）、分式混合运算
【点评】
本题聚焦分式混合运算，核心考查因式分解的应用与运算顺序的遵循。运算中需注意公因式的准确识别与约分，避免符号错误，合理运用平方差、完全平方公式可大幅简化计算，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.6
