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7. (1)计算：$(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b} - \frac{1}{a^2 - b^2}) ÷ \frac{1}{a^2 - b^2}$。
(2)若$\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)} = \frac{m}{a + 3} + \frac{n}{a - 1}$，求$m$，$n$的值。
(2)若$\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)} = \frac{m}{a + 3} + \frac{n}{a - 1}$，求$m$，$n$的值。
答案
解:(1)原式=$\frac{1}{a + b}·(a - b)(a + b)+\frac{1}{a - b}·(a - b)·(a + b)-\frac{1}{a^2 - b^2}·(a^2 - b^2)=a - b + a + b - 1 = 2a - 1$。
(2)$\frac{m}{a + 3}+\frac{n}{a - 1}=\frac{m(a - 1)+n(a + 3)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)}$,则$m + n = 3,m - 3n = - 1$,解得$m = 2,n = 1$。
(2)$\frac{m}{a + 3}+\frac{n}{a - 1}=\frac{m(a - 1)+n(a + 3)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)}$,则$m + n = 3,m - 3n = - 1$,解得$m = 2,n = 1$。
解析
【分析】
第(1)问：这是分式混合运算题，除以$\frac{1}{a^2 - b^2}$等价于乘以它的倒数$a^2 - b^2$（即$(a+b)(a-b)$），利用乘法分配律将括号内每一项分别与$a^2 - b^2$相乘，可通过约分简化计算，避免先通分括号内分式的繁琐步骤，最后合并同类项即可得到结果。
第(2)问：属于分式拆分问题，先将右边两个分式通分合并为一个分式，由于左右两边分式分母相同，分子必然对应相等，由此得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组就能求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{a + b}·(a - b)(a + b)+\frac{1}{a - b}·(a - b)(a + b)-\frac{1}{a^2 - b^2}·(a^2 - b^2)$
$=a - b + a + b - 1$
$=2a - 1$
(2) 对右边分式通分：
$\frac{m}{a + 3}+\frac{n}{a - 1}=\frac{m(a - 1)+n(a + 3)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}$
因为$\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)}$，分母相同则分子对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m + n = 3\\m - 3n = -1\end{cases}$
由第一个方程得$m=3-n$，代入第二个方程：
$3-n - 3n=-1$
$3-4n=-1$
解得$n=1$，将$n=1$代入$m=3-n$，得$m=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a - 1}$；(2) $\boldsymbol{m=2}$，$\boldsymbol{n=1}$
【知识点】
分式混合运算，分式通分，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查分式运算及待定系数法的应用，第(1)问利用乘法分配律简化运算，体现了简便计算的思路；第(2)问通过分子对应相等构建方程组，是分式拆分问题的常用方法，运算时需注意符号的准确性，熟练掌握分式通分规则与方程组解法是解题关键。
【难度系数】
0.7
第(1)问：这是分式混合运算题，除以$\frac{1}{a^2 - b^2}$等价于乘以它的倒数$a^2 - b^2$（即$(a+b)(a-b)$），利用乘法分配律将括号内每一项分别与$a^2 - b^2$相乘，可通过约分简化计算，避免先通分括号内分式的繁琐步骤，最后合并同类项即可得到结果。
第(2)问：属于分式拆分问题，先将右边两个分式通分合并为一个分式，由于左右两边分式分母相同，分子必然对应相等，由此得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组就能求出$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{a + b}·(a - b)(a + b)+\frac{1}{a - b}·(a - b)(a + b)-\frac{1}{a^2 - b^2}·(a^2 - b^2)$
$=a - b + a + b - 1$
$=2a - 1$
(2) 对右边分式通分：
$\frac{m}{a + 3}+\frac{n}{a - 1}=\frac{m(a - 1)+n(a + 3)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}$
因为$\frac{(m + n)a-(m - 3n)}{(a + 3)(a - 1)}=\frac{3a + 1}{(a + 3)(a - 1)}$，分母相同则分子对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}m + n = 3\\m - 3n = -1\end{cases}$
由第一个方程得$m=3-n$，代入第二个方程：
$3-n - 3n=-1$
$3-4n=-1$
解得$n=1$，将$n=1$代入$m=3-n$，得$m=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2a - 1}$；(2) $\boldsymbol{m=2}$，$\boldsymbol{n=1}$
【知识点】
分式混合运算，分式通分，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查分式运算及待定系数法的应用，第(1)问利用乘法分配律简化运算，体现了简便计算的思路；第(2)问通过分子对应相等构建方程组，是分式拆分问题的常用方法，运算时需注意符号的准确性，熟练掌握分式通分规则与方程组解法是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 先化简，再求值：
(1)$\frac{2x - 4}{x} ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2} - \frac{x}{x - 2}$，其中$x = - 2$。
(2)$(\frac{3}{m + 2} - 1) ÷ \frac{m^2 - 2m + 1}{m + 2}$，从$- 2$，$- 1$，$0$，$1$中选取一个合适的数代入求值。
(1)$\frac{2x - 4}{x} ÷ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2} - \frac{x}{x - 2}$，其中$x = - 2$。
(2)$(\frac{3}{m + 2} - 1) ÷ \frac{m^2 - 2m + 1}{m + 2}$，从$- 2$，$- 1$，$0$，$1$中选取一个合适的数代入求值。
答案
解:(1)原式=$\frac{2(x - 2)}{x}·\frac{x^2}{(x - 2)^2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{2x}{x - 2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{x}{x - 2}$。
当$x = - 2$时,原式=$\frac{-2}{-2 - 2}=\frac{1}{2}$。
(2)原式=$\frac{3-(m + 2)}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{3 - m - 2}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{1 - m}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$-\frac{1}{m - 1}$。
当$m = - 2,1$时分式无意义。
当$m = 0$时,原式=$-\frac{1}{0 - 1}=1$。
当$m = - 1$时,原式=$-\frac{1}{-1 - 1}=\frac{1}{2}$。
=$\frac{2x}{x - 2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{x}{x - 2}$。
当$x = - 2$时,原式=$\frac{-2}{-2 - 2}=\frac{1}{2}$。
(2)原式=$\frac{3-(m + 2)}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{3 - m - 2}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{1 - m}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$-\frac{1}{m - 1}$。
当$m = - 2,1$时分式无意义。
当$m = 0$时,原式=$-\frac{1}{0 - 1}=1$。
当$m = - 1$时,原式=$-\frac{1}{-1 - 1}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母进行因式分解：把$2x-4$分解为$2(x-2)$，$x^2-4x+4$分解为$(x-2)^2$，约分后得到$\frac{2x}{x-2}$，再与$\frac{x}{x-2}$进行同分母分式减法，分子相减即可完成化简，最后将$x=-2$代入化简后的式子计算结果。
(2) 先计算括号内的减法，对$\frac{3}{m+2}-1$通分，得到$\frac{3-(m+2)}{m+2}$，化简分子后，将除法转化为乘法，同时把$m^2-2m+1$分解为$(m-1)^2$，约分后得到$-\frac{1}{m-1}$；接下来要考虑分式有意义的条件，原分式中分母不能为0，所以排除$m=-2$和$m=1$，从剩下的$0$、$-1$中选一个代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 原式=$\frac{2(x - 2)}{x}·\frac{x^2}{(x - 2)^2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{2x}{x - 2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{x}{x - 2}$。
当$x = - 2$时，原式=$\frac{-2}{-2 - 2}=\frac{1}{2}$。
(2) 原式=$\frac{3-(m + 2)}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{3 - m - 2}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{1 - m}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$-\frac{1}{m - 1}$。
当$m = - 2,1$时分式无意义。
当$m = 0$时，原式=$-\frac{1}{0 - 1}=1$。
当$m = - 1$时，原式=$-\frac{1}{-1 - 1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 化简结果为$\boldsymbol{\frac{x}{x - 2}}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；
(2) 化简结果为$\boldsymbol{-\frac{1}{m - 1}}$，当$m=0$时值为$\boldsymbol{1}$，当$m=-1$时值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
【知识点】
分式的化简求值；分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的混合运算及求值，解题时需严格遵循分式运算法则，先乘除后加减，有括号先算括号内的；同时要特别注意分式有意义的条件，代入数值前必须排除使分母为0的取值，避免出现无意义的情况，这是这类题目容易出错的地方。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母进行因式分解：把$2x-4$分解为$2(x-2)$，$x^2-4x+4$分解为$(x-2)^2$，约分后得到$\frac{2x}{x-2}$，再与$\frac{x}{x-2}$进行同分母分式减法，分子相减即可完成化简，最后将$x=-2$代入化简后的式子计算结果。
(2) 先计算括号内的减法，对$\frac{3}{m+2}-1$通分，得到$\frac{3-(m+2)}{m+2}$，化简分子后，将除法转化为乘法，同时把$m^2-2m+1$分解为$(m-1)^2$，约分后得到$-\frac{1}{m-1}$；接下来要考虑分式有意义的条件，原分式中分母不能为0，所以排除$m=-2$和$m=1$，从剩下的$0$、$-1$中选一个代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 原式=$\frac{2(x - 2)}{x}·\frac{x^2}{(x - 2)^2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{2x}{x - 2}-\frac{x}{x - 2}$
=$\frac{x}{x - 2}$。
当$x = - 2$时，原式=$\frac{-2}{-2 - 2}=\frac{1}{2}$。
(2) 原式=$\frac{3-(m + 2)}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{3 - m - 2}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$\frac{1 - m}{m + 2}·\frac{m + 2}{(m - 1)^2}$
=$-\frac{1}{m - 1}$。
当$m = - 2,1$时分式无意义。
当$m = 0$时，原式=$-\frac{1}{0 - 1}=1$。
当$m = - 1$时，原式=$-\frac{1}{-1 - 1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 化简结果为$\boldsymbol{\frac{x}{x - 2}}$，求值结果为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；
(2) 化简结果为$\boldsymbol{-\frac{1}{m - 1}}$，当$m=0$时值为$\boldsymbol{1}$，当$m=-1$时值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
【知识点】
分式的化简求值；分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的混合运算及求值，解题时需严格遵循分式运算法则，先乘除后加减，有括号先算括号内的；同时要特别注意分式有意义的条件，代入数值前必须排除使分母为0的取值，避免出现无意义的情况，这是这类题目容易出错的地方。
【难度系数】
0.6
