登录
6. 下面是小华将等式 $ 4x - 1 = 3x - 1 $ 变形的过程.
第一步：$ 4x - 1 + 1 = 3x - 1 + 1 $；
第二步：$ 4x = 3x $；
第三步：$ 4 = 3 $.
(1)小华第一步变形的依据是______；
(2)小华解题过程中错误最先出在第几步？请说出错误的原因；
(3)请你写出正确的求解过程.
第一步：$ 4x - 1 + 1 = 3x - 1 + 1 $；
第二步：$ 4x = 3x $；
第三步：$ 4 = 3 $.
(1)小华第一步变形的依据是______；
(2)小华解题过程中错误最先出在第几步？请说出错误的原因；
(3)请你写出正确的求解过程.
答案
解:
(1)等式的性质1
(2)小华出错在第三步,错误的原因是等式两边同时除以x,因为不能确定x不为0,所以两边不能同时除以x.
(3)两边同时加1,得$4x = 3x$,
两边同时减3x,得$4x - 3x = 0$,
解得$x = 0$.
(1)等式的性质1
(2)小华出错在第三步,错误的原因是等式两边同时除以x,因为不能确定x不为0,所以两边不能同时除以x.
(3)两边同时加1,得$4x = 3x$,
两边同时减3x,得$4x - 3x = 0$,
解得$x = 0$.
解析
【分析】
本题围绕等式变形考查等式的性质及一元一次方程的求解。对于(1)，先回忆等式的基本性质，第一步是等式两边同时加1，对应等式两边加同一个数等式仍成立的性质；对于(2)，逐步骤核对变形规则，第三步将$4x=3x$两边同时除以x，需要满足除数不为0的要求，此时x的值不确定是否为0，因此该步不符合变形规则；对于(3)，正确求解时不能直接除以x，应该通过移项、合并同类项求出x的值，避免出错。
【解析】
(1) 第一步变形是等式两边同时加1，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。
(2) 错误最先出现在第三步。错误原因：根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，本题中不能确定x的值是否不为0，因此不能直接在等式两边同时除以x。
(3) 正确求解过程：
首先等式两边同时加1，得$4x-1+1=3x-1+1$，化简为$4x=3x$；
再等式两边同时减3x，得$4x-3x=3x-3x$，化简得$x=0$。
【答案】
(1) 等式的性质1
(2) 错误最先出在第三步，错误的原因是等式两边同时除以x，因为不能确定x不为0，所以两边不能同时除以x。
(3) 两边同时加1，得$4x = 3x$，两边同时减3x，得$4x - 3x = 0$，解得$x = 0$。
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查等式性质2中“除以同一个不为0的数”的限制条件，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免出现错误结论。
【难度系数】
0.8
本题围绕等式变形考查等式的性质及一元一次方程的求解。对于(1)，先回忆等式的基本性质，第一步是等式两边同时加1，对应等式两边加同一个数等式仍成立的性质；对于(2)，逐步骤核对变形规则，第三步将$4x=3x$两边同时除以x，需要满足除数不为0的要求，此时x的值不确定是否为0，因此该步不符合变形规则；对于(3)，正确求解时不能直接除以x，应该通过移项、合并同类项求出x的值，避免出错。
【解析】
(1) 第一步变形是等式两边同时加1，依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立。
(2) 错误最先出现在第三步。错误原因：根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，本题中不能确定x的值是否不为0，因此不能直接在等式两边同时除以x。
(3) 正确求解过程：
首先等式两边同时加1，得$4x-1+1=3x-1+1$，化简为$4x=3x$；
再等式两边同时减3x，得$4x-3x=3x-3x$，化简得$x=0$。
【答案】
(1) 等式的性质1
(2) 错误最先出在第三步，错误的原因是等式两边同时除以x，因为不能确定x不为0，所以两边不能同时除以x。
(3) 两边同时加1，得$4x = 3x$，两边同时减3x，得$4x - 3x = 0$，解得$x = 0$。
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查等式性质2中“除以同一个不为0的数”的限制条件，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免出现错误结论。
【难度系数】
0.8
7. 能否由等式 $ (2m + 5)x = 3m - n $ 得到 $ x = \frac{3m - n}{2m + 5} $？为什么？反过来,能否由等式 $ x = \frac{3m - n}{2m + 5} $ 得到 $ (2m + 5)x = 3m - n $？为什么？
答案
解:不能由等式$(2m + 5)x = 3m - n$得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$.
理由如下:
当$2m + 5 = 0$时,等式两边不能同除以$2m + 5$.
能由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$.理由如下:
$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$中隐含条件$2m + 5 \neq 0$,
方程两边都乘$(2m + 5)$,得
$(2m + 5)x = 3m - n$.
理由如下:
当$2m + 5 = 0$时,等式两边不能同除以$2m + 5$.
能由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$.理由如下:
$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$中隐含条件$2m + 5 \neq 0$,
方程两边都乘$(2m + 5)$,得
$(2m + 5)x = 3m - n$.
解析
【分析】
解决本题需紧扣等式的性质2的适用条件思考：首先，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。判断第一个变形时，要考虑除以的整式$2m+5$是否可能为0，若存在为0的情况，则不能直接作除法运算；判断第二个变形时，$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$作为分式形式，本身隐含分母不为0的前提，此时两边同乘$2m+5$符合等式的性质要求，可完成变形。
【解析】
1. 判断能否由$(2m + 5)x = 3m - n$得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$：
不能得到该式。理由：根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。当$2m + 5 = 0$时，无法在等式两边同时除以$2m + 5$，因此不能直接得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$。
2. 判断能否由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$：
能得到该式。理由：$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$中隐含分母不为0的条件，即$2m + 5 ≠ 0$，根据等式的性质，等式两边同时乘同一个整式$2m + 5$，等式仍然成立，因此两边同乘后可得$(2m + 5)x = 3m - n$。
【答案】
不能由等式$(2m + 5)x = 3m - n$得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$，理由是当$2m + 5 = 0$时，等式两边不能同除以$2m + 5$；能由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$，理由是$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$隐含$2m + 5 ≠ 0$，两边同乘$(2m + 5)$即可得到该等式。
【知识点】
等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查等式性质的应用，需要注意等式两边作除法变形时，必须保证除数不为0，这是这类题型的核心易错点，要明确乘、除变形的不同限制要求。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣等式的性质2的适用条件思考：首先，等式两边同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。判断第一个变形时，要考虑除以的整式$2m+5$是否可能为0，若存在为0的情况，则不能直接作除法运算；判断第二个变形时，$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$作为分式形式，本身隐含分母不为0的前提，此时两边同乘$2m+5$符合等式的性质要求，可完成变形。
【解析】
1. 判断能否由$(2m + 5)x = 3m - n$得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$：
不能得到该式。理由：根据等式的性质，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。当$2m + 5 = 0$时，无法在等式两边同时除以$2m + 5$，因此不能直接得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$。
2. 判断能否由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$：
能得到该式。理由：$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$中隐含分母不为0的条件，即$2m + 5 ≠ 0$，根据等式的性质，等式两边同时乘同一个整式$2m + 5$，等式仍然成立，因此两边同乘后可得$(2m + 5)x = 3m - n$。
【答案】
不能由等式$(2m + 5)x = 3m - n$得到$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$，理由是当$2m + 5 = 0$时，等式两边不能同除以$2m + 5$；能由$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$得到$(2m + 5)x = 3m - n$，理由是$x = \frac{3m - n}{2m + 5}$隐含$2m + 5 ≠ 0$，两边同乘$(2m + 5)$即可得到该等式。
【知识点】
等式的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查等式性质的应用，需要注意等式两边作除法变形时，必须保证除数不为0，这是这类题型的核心易错点，要明确乘、除变形的不同限制要求。
【难度系数】
0.8
8. 根据等式的性质,下列变形正确的是( )
A.若 $ a = b $,则 $ a - x = b - y $
B.若 $ a = b $,则 $ \frac{a}{x^{2} + 1} = \frac{b}{x^{2} + 1} $
C.若 $ ax = bx $,则 $ a = b $
D.若 $ 4a = 7b $,则 $ \frac{a}{b} = \frac{4}{7} $
A.若 $ a = b $,则 $ a - x = b - y $
B.若 $ a = b $,则 $ \frac{a}{x^{2} + 1} = \frac{b}{x^{2} + 1} $
C.若 $ ax = bx $,则 $ a = b $
D.若 $ 4a = 7b $,则 $ \frac{a}{b} = \frac{4}{7} $
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时逐一核对每个选项是否符合等式性质的要求，尤其要注意除法运算中除数不能为0的限制条件，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a = b$，根据等式性质1，等式两边需减去同一个数或式子结果才相等，该选项左边减$x$，右边减$y$，$x$和$y$不一定相等，变形错误。
B选项：由于$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 1 ≥ 1$，恒不为0。根据等式性质2，$a = b$两边同时除以不为0的$x^2+1$，可得$\frac{a}{x^2 + 1} = \frac{b}{x^2 + 1}$，变形正确。
C选项：若$ax = bx$，当$x = 0$时，无论$a$、$b$取何值等式都成立，不能直接两边除以$x$得到$a = b$，变形错误。
D选项：若$4a = 7b$，首先未说明$b ≠ 0$，不能直接两边除以$b$；其次即使$b ≠ 0$，变形后应为$\frac{a}{b} = \frac{7}{4}$，而非$\frac{4}{7}$，变形错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边做除法运算时，除数必须不为0的限制条件，同时要注意运算时等式两边需同时乘除同一个数，避免系数变形错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等式的两条基本性质：1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题时逐一核对每个选项是否符合等式性质的要求，尤其要注意除法运算中除数不能为0的限制条件，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：若$a = b$，根据等式性质1，等式两边需减去同一个数或式子结果才相等，该选项左边减$x$，右边减$y$，$x$和$y$不一定相等，变形错误。
B选项：由于$x^2 ≥ 0$，因此$x^2 + 1 ≥ 1$，恒不为0。根据等式性质2，$a = b$两边同时除以不为0的$x^2+1$，可得$\frac{a}{x^2 + 1} = \frac{b}{x^2 + 1}$，变形正确。
C选项：若$ax = bx$，当$x = 0$时，无论$a$、$b$取何值等式都成立，不能直接两边除以$x$得到$a = b$，变形错误。
D选项：若$4a = 7b$，首先未说明$b ≠ 0$，不能直接两边除以$b$；其次即使$b ≠ 0$，变形后应为$\frac{a}{b} = \frac{7}{4}$，而非$\frac{4}{7}$，变形错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 平方的非负性
【点评】
本题重点考查等式性质的应用，易错点是忽略等式两边做除法运算时，除数必须不为0的限制条件，同时要注意运算时等式两边需同时乘除同一个数，避免系数变形错误。
【难度系数】
0.7
9. 将方程 $ 2(x - 1) = 3(x - 1) $ 的两边同时除以 $ x - 1 $,则有 $ 2 = 3 $,其错误的原因是( )
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.忽略 $ x - 1 $ 的值为 0 的可能
D.$ 2(x - 1) \lt 3(x - 1) $
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.忽略 $ x - 1 $ 的值为 0 的可能
D.$ 2(x - 1) \lt 3(x - 1) $
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆等式性质中除法运算的要求：等式两边同时除以同一个数时，必须保证这个数不为0，等式才仍然成立。我们先判断题目中除以的$x-1$是否可能为0，再结合原方程的解就能找到错误的根源。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
先求解原方程$2(x - 1) = 3(x - 1)$：
移项得：$2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$
合并同类项得：$-(x - 1) = 0$
解得$x=1$，此时$x-1=0$。
题目直接将方程两边同时除以$x-1$，忽略了$x-1$的值为0的可能，而0不能作为除数，因此会得到错误的$2=3$的结果，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；0不能作除数
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查等式两边作除法运算的前提条件，做题时要注意除以的数不能为0，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等式性质中除法运算的要求：等式两边同时除以同一个数时，必须保证这个数不为0，等式才仍然成立。我们先判断题目中除以的$x-1$是否可能为0，再结合原方程的解就能找到错误的根源。
【解析】
根据等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
先求解原方程$2(x - 1) = 3(x - 1)$：
移项得：$2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$
合并同类项得：$-(x - 1) = 0$
解得$x=1$，此时$x-1=0$。
题目直接将方程两边同时除以$x-1$，忽略了$x-1$的值为0的可能，而0不能作为除数，因此会得到错误的$2=3$的结果，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质；0不能作除数
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查等式两边作除法运算的前提条件，做题时要注意除以的数不能为0，避免出现类似错误。
【难度系数】
0.7
10. 已知方程 $ x + y - 1 = 0 $,用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $ 为______.
答案
$x = 1 - y$
解析
【分析】
本题要求用含y的代数式表示x，核心目标是将x单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，解题依据是等式的基本性质1：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立。我们只需要通过等式变形，把含有y的项和常数项都移到等号的右边，就能得到x的表达式。
【解析】
已知方程 $x + y - 1 = 0$
第一步：根据等式的性质1，等式两边同时减去y，可得：
$x - 1 = -y$
第二步：再根据等式的性质1，等式两边同时加上1，可得：
$x = 1 - y$
【答案】
$x = 1 - y$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 方程变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，主要考察等式变形的基本规则，是学习解方程必备的基础技能，解题时注意变形时等号两边要同时进行相同的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
本题要求用含y的代数式表示x，核心目标是将x单独放在等号的一侧，其余项移到另一侧，解题依据是等式的基本性质1：等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立。我们只需要通过等式变形，把含有y的项和常数项都移到等号的右边，就能得到x的表达式。
【解析】
已知方程 $x + y - 1 = 0$
第一步：根据等式的性质1，等式两边同时减去y，可得：
$x - 1 = -y$
第二步：再根据等式的性质1，等式两边同时加上1，可得：
$x = 1 - y$
【答案】
$x = 1 - y$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 方程变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，主要考察等式变形的基本规则，是学习解方程必备的基础技能，解题时注意变形时等号两边要同时进行相同的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
11. 已知 $ 3b - 2a - 1 = 3a - 2b $,利用等式的性质比较 $ a $ 与 $ b $ 的大小.
答案
解:根据等式的性质1,等式两边都减式子$3a - 2b - 1$,得
$5b - 5a = 1$.
根据等式的性质2,等式两边都除以5,得
$b - a = \frac{1}{5} ＞ 0$,
所以$b ＞ a$.
$5b - 5a = 1$.
根据等式的性质2,等式两边都除以5,得
$b - a = \frac{1}{5} ＞ 0$,
所以$b ＞ a$.
解析
【分析】
要比较a和b的大小，常用作差法，即判断b-a（或a-b）的正负：若差为正，则被减数更大；若差为负，则减数更大。因此我们可以利用等式的性质，对已知等式逐步变形，将含a、b的项整理到等式的同一侧，常数项整理到另一侧，最终求出b与a的差值，判断差值的正负即可得到a、b的大小关系。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时减去式子$3a - 2b - 1$，得：
$3b - 2a - 1 - (3a - 2b - 1) = 3a - 2b - (3a - 2b - 1)$
化简后得到：$5b - 5a = 1$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b - a = \frac{1}{5}$
因为$\frac{1}{5} ＞ 0$，即$b - a ＞ 0$，所以$b ＞ a$。
【答案】
$b ＞ a$
【知识点】
等式的性质；作差法比较大小
【点评】
本题需要结合等式的性质对已知等式做合理变形，核心是通过变形得到两数的差值，根据差值的正负判断大小，是对等式性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
要比较a和b的大小，常用作差法，即判断b-a（或a-b）的正负：若差为正，则被减数更大；若差为负，则减数更大。因此我们可以利用等式的性质，对已知等式逐步变形，将含a、b的项整理到等式的同一侧，常数项整理到另一侧，最终求出b与a的差值，判断差值的正负即可得到a、b的大小关系。
【解析】
解：根据等式的性质1，等式两边同时减去式子$3a - 2b - 1$，得：
$3b - 2a - 1 - (3a - 2b - 1) = 3a - 2b - (3a - 2b - 1)$
化简后得到：$5b - 5a = 1$
根据等式的性质2，等式两边同时除以5，得：
$b - a = \frac{1}{5}$
因为$\frac{1}{5} ＞ 0$，即$b - a ＞ 0$，所以$b ＞ a$。
【答案】
$b ＞ a$
【知识点】
等式的性质；作差法比较大小
【点评】
本题需要结合等式的性质对已知等式做合理变形，核心是通过变形得到两数的差值，根据差值的正负判断大小，是对等式性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
