3. 下列式子变形正确的是( )

A.若 $ 2x = 7 $,则 $ x = \frac{2}{7} $
B.若 $ x - 1 = 0 $,则 $ x = 1 $
C.若 $ 3x + 2 = 2x $,则 $ 3x + 2x = 2 $
D.若 $ \frac{x - 1}{2} = 3 $,则 $ x - 1 = 3 $

B

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路为：先回忆等式的两条基本性质，①等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。再逐一验证每个选项的变形是否符合等式性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 若$2x=7$，根据等式性质2，两边同时除以2，得$x=\frac{7}{2}$，不是$\frac{2}{7}$，变形错误；
B. 若$x-1=0$，根据等式性质1，两边同时加1，得$x=1$，变形正确；
C. 若$3x+2=2x$，根据等式性质1，两边同时减$2x$、减2，得$3x-2x=-2$，选项中移项未变号，变形错误；
D. 若$\frac{x-1}{2}=3$，根据等式性质2，两边同时乘2，得$x-1=6$，不是3，变形错误。
综上，只有B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；方程变形规则
【点评】
本题属于基础应用类题目，易错点为移项未变号、等式变形时只操作单侧，熟练掌握等式的两条性质即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8

4. 利用等式的性质求下列方程的解：
(1)$ -5x = 5 - 6x $；
(2)$ 0 = 3x - 9 $；
(3)$ \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} $.

解:
(1)两边同时加6x,得
$-5x + 6x = 5 - 6x + 6x$,即$x = 5$.
(2)两边同时加9,得
$9 = 3x - 9 + 9$,即$3x = 9$.
两边同时除以3,得$x = 3$.
(3)两边同时减$\frac{1}{2}$,得$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$,
即$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$.
两边同时除以$\frac{1}{3}$,得$x = \frac{1}{2}$.

【分析】
本题要求利用等式的性质解方程，解题核心是牢记等式的两个基本性质：①等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解题思路分两步：第一步，通过等式两边同时加/减某个数或式子，将含未知数x的项移到等号一侧，常数项移到等号另一侧；第二步，通过等式两边同时乘/除以x的系数，将x的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 两边同时加6x，得
$-5x + 6x = 5 - 6x + 6x$，即$x = 5$。
(2) 两边同时加9，得
$9 = 3x - 9 + 9$，即$3x = 9$。
两边同时除以3，得$x = 3$。
(3) 两边同时减$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}$。
两边同时除以$\frac{1}{3}$，得$x = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$x=5$；(2)$x=3$；(3)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是利用等式性质解方程的基础题型，所有变形都严格遵循等式性质，是后续学习复杂方程求解的核心基础，解题时要注意必须对等式两边同时做相同的运算，避免出现单边变形的错误。
【难度系数】
0.8

1. 等式就像保持平衡的天平,下列选项中与图所示的事实相对应的是( )


A.如果 $ a = b $,那么 $ a + c = b + c $
B.如果 $ a = b $,那么 $ ac = bc $
C.如果 $ a = b $,那么 $ \frac{a}{c} = \frac{b}{c} $($ c \neq 0 $)
D.如果 $ a = b $,那么 $ a^{2} = b^{2} $

A

【分析】首先观察天平的初始状态：平衡的天平说明左右两侧物体的质量相等，可抽象为等式a=b；再观察天平变化后的状态：左右两侧同时添加了一个相同的小砝码后天平仍然平衡，这一操作对应等式的变形，我们匹配对应等式性质的选项即可。
【解析】第一步：初始状态天平平衡，说明左右托盘内物体质量相等，可记为a=b；
第二步：观察变化后的天平，左右两边同时加入了质量为c的相同小砝码，天平依然保持平衡，说明等式两边同时加上同一个数c，等式仍然成立，即$a+c = b+c$，对应选项A；
选项B是等式两边同乘c、选项C是等式两边同除以c（$c≠0$）、选项D是等式两边同时平方，均与天平两边同时加相同质量物体的操作不符，故排除。
【答案】A
【知识点】等式的性质1；天平平衡原理
【点评】本题借助天平平衡的直观模型考查等式的性质，解题的关键是准确观察天平前后的操作变化，明确是对等式两边同时进行加同一个数的操作，掌握等式性质的内容即可快速解题。
【难度系数】0.9

2. 若 $ x = y $,那么下列变形不一定正确的是( )

A.$ x + 1 = y + 1 $
B.$ -x = -y $
C.$ 2x + 2y = 0 $
D.$ \frac{x}{3} = \frac{y}{3} $

C

【分析】
解题时首先要明确等式的两个基本性质，再逐一用等式性质验证每个选项的变形是否正确，也可以通过代入具体数值举反例的方式，判断哪个变形不一定成立，最终选出符合题意的选项。
【解析】
根据等式的性质逐一分析选项：
1. 选项A：已知$x=y$，根据等式性质1，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，两边同时加1可得$x+1=y+1$，该变形一定正确，不符合题意。
2. 选项B：已知$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，两边同时乘$-1$可得$-x=-y$，该变形一定正确，不符合题意。
3. 选项C：已知$x=y$，则$2x+2y=2x+2x=4x$，仅当$x=0$时该式等于0，若$x≠0$（例如$x=y=1$时，$2x+2y=4≠0$），变形不成立，所以该变形不一定正确，符合题意。
4. 选项D：已知$x=y$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，两边同时除以3可得$\frac{x}{3}=\frac{y}{3}$，该变形一定正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2
【点评】
本题考查等式性质的应用，解题时既可以依据等式性质直接判断变形正误，也可以通过举反例的方式快速验证，注意要区分“一定成立”和“不一定成立”的差异。
【难度系数】
0.8

3. 下列变形正确的是______(填序号).
① $ \frac{1}{3}x = 0 $ 变形得 $ x = 3 $；② $ 3x = 2x - 2 $ 变形得 $ 3x - 2x = -2 $；③ $ 3x = 2 $ 变形得 $ x = \frac{3}{2} $；④ $ \frac{2}{3}x - 1 = x $ 变形得 $ 2x - 3 = 3x $；⑤若 $ \frac{x}{m} = \frac{y}{m} $,则 $ x = y $.

②④⑤

【分析】
本题需结合等式的基本性质逐一判断每个变形是否正确。首先回忆等式的两个核心性质：1. 等式两边同时加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时逐个验证5个变形是否符合上述性质，同时注意分母含字母时隐含分母不为0的前提。
【解析】
我们逐个分析每个变形：
① 对$\frac{1}{3}x=0$，根据等式性质2，两边同时乘3，得$x=0$，而非$x=3$，故①错误；
② 对$3x=2x-2$，根据等式性质1，两边同时减$2x$，得$3x-2x=-2$，故②正确；
③ 对$3x=2$，根据等式性质2，两边同时除以3，得$x=\frac{2}{3}$，而非$x=\frac{3}{2}$，故③错误；
④ 对$\frac{2}{3}x-1=x$，根据等式性质2，两边同时乘3，每一项都乘3得$2x-3=3x$，故④正确；
⑤ 对$\frac{x}{m}=\frac{y}{m}$，由分母不为0可知$m≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$m$得$x=y$，故⑤正确。
综上，正确的变形是②④⑤。
【答案】
②④⑤
【知识点】
等式的基本性质，一元一次方程变形，分母不为0判定
【点评】
本题是等式性质应用的基础题，易错点在于：运用等式性质2时忽略除数不为0的要求，去分母时漏乘不含分母的项，移项时忘记变号，这些都是等式变形中需要重点注意的内容。
【难度系数】
0.7

4. 根据等式的性质填空：
(1)如果 $ 3x = 5 - x $,那么 $ 3x + $______ $ = 5 $；
(2)如果 $ m - 2n = 5 + 2n $,那么 $ m = $______；
(3)如果 $ x = -3 $,那么______ $ \cdot x = 18 $；
(4)如果 $ 7m = 4n $,那么 $ \frac{7}{2}m = $______ $ \cdot n $.

(1)x
(2)$5 + 4n$
(3)-6
(4)2

【分析】
本题考查等式基本性质的应用，解题思路如下：首先观察等式左右两边的变化形式，判断需要使用等式的哪条性质，再按照性质要求对等式两边做相同的运算即可得到结果。（1）等式右边从5-x变为5，是加了x，需用等式性质1，左边也加x；（2）等式左边从m-2n变为m，是加了2n，需用等式性质1，右边也加2n后合并同类项；（3）已知x=-3，要得到乘积为18，需用等式性质2，两边同乘18÷(-3)的结果；（4）等式左边从7m变为$\frac{7}{2}m$，是乘了$\frac{1}{2}$，需用等式性质2，右边4n也乘$\frac{1}{2}$计算即可。
【解析】
(1) 根据等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立。原等式$3x = 5 - x$两边同时加$x$，得$3x + x = 5 - x + x$，化简后为$3x + x = 5$，故填$x$。
(2) 根据等式的性质1，原等式$m - 2n = 5 + 2n$两边同时加$2n$，得$m - 2n + 2n = 5 + 2n + 2n$，化简后为$m = 5 + 4n$，故填$5 + 4n$。
(3) 设要填的数为$a$，根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。将$x=-3$代入$a·x=18$，得$-3a=18$，两边同时除以$-3$，得$a=18÷(-3)=-6$，故填$-6$。
(4) 根据等式的性质2，原等式$7m = 4n$两边同时乘$\frac{1}{2}$，得$7m×\frac{1}{2}=4n×\frac{1}{2}$，化简后为$\frac{7}{2}m=2n$，故填$2$。
【答案】
(1)$x$；(2)$5 + 4n$；(3)$-6$；(4)$2$
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题是等式性质的基础训练题，核心考查对等式性质的理解与应用，解题时要注意等式两边必须同时进行相同的运算，避免出现漏加、漏乘某一边的错误。
【难度系数】
0.9

5. 利用等式的性质解下列方程：
(1)$ x + 3 = 2 $；
(2)$ -\frac{1}{2}x - 2 = 3 $；
(3)$ 7x - 6 = -5x $.

解:
(1)方程两边都减3,得$x + 3 - 3 = 2 - 3$.
所以$x = -1$.
(2)方程两边加2,得$-\frac{1}{2}x - 2 + 2 = 3 + 2$,
即$-\frac{1}{2}x = 5$.
两边同乘-2,得$x = -10$.
(3)方程两边同加$5x + 6$,得
$7x - 6 + 5x + 6 = -5x + 5x + 6$,
即$12x = 6$.
两边同除以12,得$x = \frac{1}{2}$.

【分析】
本题要求利用等式的性质解方程，核心思路是通过等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘同一个数，或除以同一个不为0的数），逐步将方程化简为$x=a$的形式求出解。各小问具体思考方向：(1)方程左侧含常数项$+3$，根据等式性质1，两边同时减3即可消去左侧常数项得到解；(2)先根据等式性质1，两边同时加2消去左侧的$-2$，再根据等式性质2，两边同时乘$-2$将$x$的系数化为1；(3)先根据等式性质1，两边同时加$5x+6$，将含$x$的项统一移到左侧、常数项移到右侧，再根据等式性质2，两边同时除以12将系数化为1。
【解析】
解:
(1)方程两边都减3,得$x + 3 - 3 = 2 - 3$.
所以$x = -1$.
(2)方程两边加2,得$-\frac{1}{2}x - 2 + 2 = 3 + 2$,
即$-\frac{1}{2}x = 5$.
两边同乘-2,得$x = -10$.
(3)方程两边同加$5x + 6$,得
$7x - 6 + 5x + 6 = -5x + 5x + 6$,
即$12x = 6$.
两边同除以12,得$x = \frac{1}{2}$.
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=-10$；(3)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的性质、解一元一次方程、系数化为1
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等式性质的运用，解题时需注意每一步变形必须保证等式两边同时进行相同的运算，涉及负数乘除时要格外注意符号变化，熟练掌握这类方程的解法是后续学习复杂方程的重要基础。
【难度系数】
0.8