1. 四边形的三个内角分别是 $60^{\circ},90^{\circ},150^{\circ}$，则与这三个内角都不相邻的外角的度数是()

A.$60^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$150^{\circ}$

1. C

2. 四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是


A.四边形的外角和等于 $180^{\circ}$

B.四边形的内角和等于 $360^{\circ}$
C.四边形的稳定性
D.四边形的不稳定性

2. D

3. 四边形有条对角线。

3. 2

1. 下列图形不具有稳定性的是()

A.
B.
C.
D.

1. A

2. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = AC = AD$，若 $∠ B = 70^{\circ},∠ D = 80^{\circ}$，则 $∠ BAD=$()


A.$60^{\circ}$

B.$75^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$105^{\circ}$

2. A

3. 如图，以四边形 $ABCD$(边长均大于 $2$)的四个顶点为圆心，$1$ 为半径画圆，则图中阴影部分的面积是()


A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$

3. A

4. 如图，求出图中 $x$ 的值。

4. 解：由四边形的内角和为 $ 360^{\circ} $ 得，$ x^{\circ}+x^{\circ}+10^{\circ}+60^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ} $，解得 $ x=100 $。

1. 小东在学习中遇到这样一个问题：如图 $1$，$△ ABC$ 中，$CE$ 平分 $∠ ACB$，$BE$ 平分外角 $∠ ABD$。猜想 $∠ E$ 与 $∠ A$ 的数量关系。
(1) 小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入 $∠ A$ 的值求 $∠ E$ 的值：
① 如果 $∠ A = 50^{\circ}$，则 $∠ E$ 的度数为；
② 如果 $∠ A = 130^{\circ}$，则 $∠ E$ 的度数为。
(2) 小东继续探究，如图 $2$，在四边形 $ABCD$ 中，$CF$ 平分 $∠ BCD$，且与四边形 $ABCD$ 的外角 $∠ ABE$ 的平分线 $BF$ 交于点 $F$。若 $∠ A = 80^{\circ}$，$∠ D = 130^{\circ}$，则 $∠ F$ 的度数为。
(3) 小东又思考，改变 $∠ BAD,∠ D$ 的大小，如图 $3$，在四边形 $ABCD$ 中，四边形的内角 $∠ BCD$ 的角平分线所在的直线与外角 $∠ ABE$ 的角平分线所在的直线相交于点 $F$，若 $∠ BAD=α,∠ D=β$，则可表示为。(请用含 $α、β$ 的表达式表示)

1. (1) ① $ 25^{\circ} $ ② $ 65^{\circ} $
(2) $ 15^{\circ} $ 解析：$ \because ∠ ABC+∠ BCD-∠ D-∠ A=360^{\circ} $，$ ∠ A=80^{\circ} $，$ ∠ D=130^{\circ} $，
$ \therefore ∠ ABC+∠ BCD=360^{\circ}-80^{\circ}-130^{\circ}=150^{\circ} $，
$ \because ∠ EBF $ 是 $ △ BCF $ 的外角，
$ \therefore ∠ EBF=∠ F+∠ BCF $，
$ \therefore ∠ F=∠ EBF-∠ BCF $，
$ \because BF $ 平分 $ ∠ ABE $，$ CF $ 平分 $ ∠ DCB $，
$ \therefore ∠ DCF=∠ FCB=\dfrac{1}{2}∠ DCB $，$ ∠ ABF=∠ EBF=\dfrac{1}{2}∠ ABE $，
$ \therefore ∠ F=∠ EBF-∠ BCF $
$ =\dfrac{1}{2}∠ ABE-\dfrac{1}{2}∠ DCB $
$ =\dfrac{1}{2}(∠ ABE-∠ DCB) $
$ =\dfrac{1}{2}(180^{\circ}-∠ ABC-∠ DCB) $
$ =90^{\circ}-\dfrac{1}{2}(∠ ABC+∠ DCB) $
$ =90^{\circ}-\dfrac{1}{2}× 150^{\circ}=15^{\circ} $，
$ \therefore ∠ F=15^{\circ} $；
(3) $ 90^{\circ}-\dfrac{1}{2}α -\dfrac{1}{2}β $ 解析：如图，延长 $ BC $ 到 $ G $，延长 $ AB $，$ DC $ 交于点 $ H $，

$ \therefore ∠ BCD=∠ HCG $，$ ∠ ABE=∠ HBG $，
$ \because BF $ 平分 $ ∠ ABE $，$ CF $ 平分 $ ∠ DCB $，
$ \therefore BF $ 平分 $ ∠ HBG $，$ CF $ 平分 $ ∠ HCG $，由 (1) 得，$ ∠ BHC=2∠ F $，
在 $ △ HAD $ 中，$ ∠ BAD=α $，$ ∠ D=β $，
$ \therefore ∠ AHD=180^{\circ}-(∠ BAD+∠ D)=180^{\circ}-(α +β ) $，
$ \therefore ∠ F=\dfrac{1}{2}∠ AHD=\dfrac{1}{2}[180^{\circ}-(α +β )] $
$ =90^{\circ}-\dfrac{1}{2}α -\dfrac{1}{2}β $。