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例 1 计算：
(1) $ \sin 30 ^ { \circ } - \cos 60 ^ { \circ } + \tan 45 ^ { \circ } $； (2) $ \sin 45 ^ { \circ } \cos 45 ^ { \circ } - \tan 30 ^ { \circ } \tan 60 ^ { \circ } $；
(3) $ \sin ^ { 2 } 60 ^ { \circ } - \cos ^ { 2 } 45 ^ { \circ } $； (4) $ \frac { 2 \sin 60 ^ { \circ } } { 2 - \tan 60 ^ { \circ } } + \sqrt { ( \cos 30 ^ { \circ } - 1 ) ^ { 2 } } $.
(1) $ \sin 30 ^ { \circ } - \cos 60 ^ { \circ } + \tan 45 ^ { \circ } $； (2) $ \sin 45 ^ { \circ } \cos 45 ^ { \circ } - \tan 30 ^ { \circ } \tan 60 ^ { \circ } $；
(3) $ \sin ^ { 2 } 60 ^ { \circ } - \cos ^ { 2 } 45 ^ { \circ } $； (4) $ \frac { 2 \sin 60 ^ { \circ } } { 2 - \tan 60 ^ { \circ } } + \sqrt { ( \cos 30 ^ { \circ } - 1 ) ^ { 2 } } $.
答案
解：原式$=\frac {1}{2}-\frac {1}{2}+1$
=1
解：原式$=\frac {\sqrt{2}}{2}×\frac {\sqrt{2}}{2}-\frac {\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$
$ =\frac {1}{2}-1$
$ =-\frac {1}{2}$
解：原式$=(\frac {\sqrt{3}}{2})²-(\frac {\sqrt{2}}{2})²$
$ =\frac {3}{4}-\frac {1}{2}$
$ =\frac {1}{4}$
解：原式$=\frac {2×\frac {\sqrt{3}}{2}}{2-\sqrt{3}}+1-\frac {\sqrt{3}}{2} $
$ =\sqrt{3}×(2+\sqrt{3})+1-\frac {\sqrt{3}}{2} $
$ =4+\frac {3\sqrt{3}}{2} $
=1
解：原式$=\frac {\sqrt{2}}{2}×\frac {\sqrt{2}}{2}-\frac {\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}$
$ =\frac {1}{2}-1$
$ =-\frac {1}{2}$
解：原式$=(\frac {\sqrt{3}}{2})²-(\frac {\sqrt{2}}{2})²$
$ =\frac {3}{4}-\frac {1}{2}$
$ =\frac {1}{4}$
解：原式$=\frac {2×\frac {\sqrt{3}}{2}}{2-\sqrt{3}}+1-\frac {\sqrt{3}}{2} $
$ =\sqrt{3}×(2+\sqrt{3})+1-\frac {\sqrt{3}}{2} $
$ =4+\frac {3\sqrt{3}}{2} $
例 2 如图 7.3.1，桔槔是一种原始的汲水工具，在一根竖立的架子上置一根细长的杠杆，末端悬挂重物，前端悬挂水桶，就制成了桔槔. 当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，把水提升至所需处比较省力. 若已知杠杆 $ A B = 6 \mathrm { m } $，$ A O : O B = 2 : 1 $，支架 $ O M ⊥ E F $，$ O M = 3 \mathrm { m } $，$ A B $ 可以绕着点 $ O $ 自由旋转，当点 $ A $ 旋转到如图所示位置时，$ \angle A O M = 45 ^ { \circ } $，求此时点 $ B $ 到水平地面 $ E F $ 的距离.
答案
解:过点B作BD⊥EF{于} 点D，
过点A作AC⊥BD交BD于点C，
交OM于点N，
因为OM⊥EF，
所以OM//BC，.
所以AN⊥OM，
所以四边形MDCN为矩形，
所以MN= CD，
因为AB=6，AO：OB= 2：1，
所以$AO=\frac {2}{3}AB=4，$
在Rt△ANO中，AO=4，∠AOM= 45° ，
所以$ON=OA.cos_{45}° =4×\frac {\sqrt{2}}{2}= 2\sqrt{2} $
所以$CD= MN= OM- ON=3- 2\sqrt{2}，$
在Rt△ACB中，AB=6，∠AOM = 45°
所以$BC=ABcos_{45}°=6×\frac {\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$
所以$BD=BC+CD=3\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}=3+\sqrt{2}($米)
1. 若 $ \sin \alpha = \cos \alpha $，则锐角 $ \alpha $ 等于 ()
A.$ 30 ^ { \circ } $
B.$ 45 ^ { \circ } $
C.$ 60 ^ { \circ } $
D.$ 75 ^ { \circ } $
A.$ 30 ^ { \circ } $
B.$ 45 ^ { \circ } $
C.$ 60 ^ { \circ } $
D.$ 75 ^ { \circ } $
答案
B
2. 点 $ ( - \sin 60 ^ { \circ }, \cos 60 ^ { \circ } ) $ 关于 $ y $ 轴对称的点的坐标是 ()
A.$ \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, \frac { 1 } { 2 } \right) $
B.$ \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, \frac { 1 } { 2 } \right) $
C.$ \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, - \frac { 1 } { 2 } \right) $
D.$ \left( - \frac { 1 } { 2 }, - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) $
A.$ \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, \frac { 1 } { 2 } \right) $
B.$ \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, \frac { 1 } { 2 } \right) $
C.$ \left( - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }, - \frac { 1 } { 2 } \right) $
D.$ \left( - \frac { 1 } { 2 }, - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) $
答案
A
3. 若 $ \sqrt { 3 } \tan \alpha = 1 $，则锐角 $ \alpha = $.
答案
30°
