例3(2024·河南)
有如下定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形是邻等对补四边形.在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对邻等对补四边形进行研究.
【操作判断】
(1)(多选)现用分别含有 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ 角的直角三角形纸板拼出下列四边形，其中是邻等对补四边形的有()

A.
B.
C.
D.
【性质探究】
由定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
(2)如图①，四边形 $ABCD$ 是邻等对补四边形，$AB = AD$，$AC$ 是它的一条对角线.
① 写出图中相等的角，并说明理由；
② 若 $BC = m$，$DC = n$，$∠ BCD = 2θ$，求 $AC$ 的长.(用含 $m$，$n$，$θ$ 的式子表示)
【拓展应用】
(3)如图②，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$BC = 4$，分别在边 $BC$，$AC$ 上取点 $M$，$N$，使四边形 $ABMN$ 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 $BN$ 的长.

分析 (1)根据邻等对补四边形的定义判断即可；
(2)① 延长 $CB$ 至点 $E$，使 $BE = DC$，连接 $AE$，易证 $∠ ACD = ∠ ACB = ∠ E$；
② 过点 $A$ 作 $AF ⊥ EC$，垂足为 $F$，将 $AC$ 放置 $Rt△ ACF$ 中，利用三角函数求解即可；
(3)根据定义可得 $∠ ANM = 90^{\circ}$，再根据“仅有一组邻边相等”进行分类讨论求解即可.

(1) BD
(2) ① ∠ACB=∠ACD。理由：延长CB至点E，使BE=DC，连接AE。∵四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=∠ADC。∵AB=AD，BE=DC，∴△ABE≌△ADC(SAS)，∴AE=AC，∠E=∠ACD。∵AE=AC，∴∠E=∠ACB，∴∠ACB=∠ACD。
② AC=(m+n)/(2cosθ)
(3) 12√2/5或12√2/7