例3（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以 $AB$ 为直径的半圆 $O$，其中水面截线 $MN // AB$.小琪在 $A$ 处测得垂直站立于 $B$ 处的爸爸的头顶 $C$ 的仰角为 $14^{\circ}$，点 $M$ 的俯角为 $7^{\circ}$.已知爸爸的身高为 $1.7\ \mathrm{m}$.（其中点 $H$ 在半圆 $O$ 上，结果精确到 $0.1\ \mathrm{m}$.参考数据：$\tan 76^{\circ} \approx 4$，$\sqrt{17} \approx 4.1$）
（1）求 $∠ C$ 的大小及 $AB$ 的长；
（2）请在图中画出线段 $DH$，用其长度表示最大水深（不用说明理由），并求最大水深.

分析 （1）根据三角形的内角和求角的大小及解三角函数即可；
（2）过点 $O$ 作 $AB$ 的垂线交 $MN$ 于点 $D$，交半圆 $O$ 于点 $H$，即可画出线段 $DH$，其长度表示最大水深，连接 $OM$，在 $\mathrm{Rt} △ OMD$ 中，根据三角函数值及勾股定理求出 $OD$ 的长，再根据 $DH = OH - OD$，求出最大水深即可.

（1）∠C=76°，AB=6.8m；（2）最大水深≈2.6m。

（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，仰角∠CAB=14°，则∠C=90°-14°=76°。
∵tan∠C=AB/BC，BC=1.7m，tan76°≈4，
∴AB=BC·tan76°≈1.7×4=6.8m。
（2）画图：过O作AB的垂线交MN于D，交半圆于H，线段DH即为所求。
AB=6.8m，半径OM=OH=3.4m。
由俯角7°得∠MAB=7°，OA=OM，∴∠OMA=7°，∠AOM=180°-2×7°=166°，∠MOB=180°-166°=14°。
OD⊥AB，∠DOB=90°，∠DOM=90°-14°=76°。
在Rt△OMD中，cos∠DOM=OD/OM，cos76°=1/√17≈1/4.1，
∴OD=OM·cos76°≈3.4×(1/4.1)≈0.83m。
最大水深DH=OH-OD≈3.4-0.83≈2.6m。