例2（2024·河南）如图①，雕塑 $AB$ 在底座 $BC$ 上，点 $D$ 是人眼所在的位置.当点 $B$ 高于人的水平视线 $DE$ 时，由远及近看雕塑，会在某处感觉看到的雕塑最大，此时视角最大.经测算，当经过 $A$，$B$ 两点的圆与水平视线 $DE$ 相切时（如图②），在切点 $P$ 处感觉看到的雕塑最大，此时 $∠ APB$ 为最大视角.
（1）请依据图②求证：$∠ APB ＞ ∠ ADB$；
（2）经测量，当最大视角 $∠ APB = 30^{\circ}$，在点 $P$ 处看雕塑顶部点 $A$ 的仰角 $∠ APE = 60^{\circ}$，点 $P$ 到雕塑的水平距离 $PH$ 为 $6\ \mathrm{m}$，求雕塑 $AB$ 的高.（结果精确到 $0.1\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）

分析 （1）设 $AD$ 与圆交于点 $M$，连接 $BM$，利用圆周角定理和三角形外角性质证明即可；
（2）将雕塑 $AB$ 的高转化为 $AH - BH$ 求解即可.

（1）证明：设AD与圆交于点M，连接BM。
∵∠APB和∠AMB都为弧AB所对的圆周角，
∴∠APB=∠AMB。
∵∠AMB是△DMB的外角，
∴∠AMB＞∠ADB。
∴∠APB＞∠ADB。
（2）解：在Rt△APH中，∠APE=60°，PH=6m，
tan∠APE=AH/PH，
∴AH=PH·tan60°=6×√3=6√3 m。
设BH=x，在Rt△BPH中，PB=√(PH²+BH²)=√(6²+x²)=√(36+x²)。
在△APB中，由余弦定理得：
AB²=AP²+PB²-2·AP·PB·cos∠APB。
∵AP=√(PH²+AH²)=√(6²+(6√3)²)=12 m，∠APB=30°，AB=AH-BH=6√3 - x，
∴(6√3 - x)²=12²+(√(36+x²))² - 2×12×√(36+x²)×cos30°。
化简得：108 - 12√3 x + x²=144 + 36 + x² - 12√3·√(36+x²)，
整理得：x + 2√3=√(36+x²)，
平方后解得：x=2√3。
∴AB=6√3 - 2√3=4√3≈4×1.73≈6.9 m。
答：雕塑AB的高约为6.9 m。