1. “三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题。今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出任意角的三等分角的，在探索和证明上面问题的过程中，有人曾利用过如图 1-1-10所示的图形，其中，四边形ABCD是长方形，F是DA的延长线上一点，G是CF上一点，并且 $ ∠ A C G=∠ A G C $ $ ∠ G A F=∠ F $ 。探究 $ ∠ E C B $和 $ ∠ A C B $之间的数量关系，并证明你的结论。

1. 解：$∠ ACB=3∠ ECB$。
证明：$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AD// BC$。$\therefore ∠ ECB=∠ F$。
$\because ∠ GAF=∠ F$，
$\therefore ∠ AGC=∠ GAF+∠ F=2∠ F$。
$\because ∠ ACG=∠ AGC$，
$\therefore ∠ ACG=2∠ F=2∠ ECB$。
$\therefore ∠ ACB=∠ ACG+∠ ECB=3∠ ECB$。

2. 如图1-1-11，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，1），C为 x轴上一点，且AC平分 $ ∠ O A B。 $
(1) 求证： $ ∠ O A C=∠ O C A; $
(2) 如图1-1-11 $ \textcircled{2} $ ，若射线 OP，CP满足 $ ∠ P O C=\frac{1}{3}∠ A O C $ $ ∠ P C E=\frac{1}{3}∠ A C E $ ，求 $ ∠ P $的大小；
(3) 如图1-1-11 $ \textcircled{3} $ ，若射线 OP，CP满足 $ ∠ P O C=\frac{1}{n}∠ A O C $ $ ∠ P C E=\frac{1}{n}∠ A C E $ ，猜想 $ ∠ P $的大小，并证明你的猜想。（用含 n的式子表示）

2. (1)证明：$\because A(0，1)$，$B(2，1)$，
$\therefore AB// CO$。$\therefore ∠ OAB=∠ AOC=90°$。
$\because AC$平分$∠ OAB$，$\therefore ∠ OAC=45°$。
$\therefore ∠ OCA=90°-45°=45°$。
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
(2)解：$\because ∠ POC=\frac{1}{3}∠ AOC$，
$\therefore ∠ POC=\frac{1}{3}×90°=30°$。
$\because ∠ PCE=\frac{1}{3}∠ ACE$，
$\therefore ∠ PCE=\frac{1}{3}×(180°-45°)=45°$。
$\because ∠ P+∠ POC=∠ PCE$，
$\therefore ∠ P=∠ PCE-∠ POC=15°$。
(3)解：猜想：$∠ P=\frac{45°}{n}$。
证明：$\because ∠ POC=\frac{1}{n}∠ AOC$，
$\therefore ∠ POC=\frac{1}{n}×90°=\frac{90°}{n}$。
$\because ∠ PCE=\frac{1}{n}∠ ACE$，
$\therefore ∠ PCE=\frac{1}{n}(180°-45°)=\frac{135°}{n}$。
$\because ∠ P+∠ POC=∠ PCE$，
$\therefore ∠ P=∠ PCE-∠ POC=\frac{45°}{n}$。