5. 某种冰激凌的外包装可以视为圆锥,它的底面圆直径 ED 与母线 AD 的长度之比为1:2. 制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料,其中 AB=AC,AD⊥BC. 将扇形 AEF 围成圆锥时,AE,AF 恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC 的大小；
(2)若圆锥底面圆的直径 ED 为 5 cm,求加工材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)

5.解:(1)设$∠ BAC = n°$.
由题意得$π· DE = \frac{nπ· AD}{180}$，且$AD = 2DE$，
∴$n = 90$，
∴$∠ BAC = 90°$.
(2)
∵$AD = 2DE = 10$cm，
∴$S_{阴} = \frac{1}{2}· BC· AD - S_{扇形AEF} = \frac{1}{2}×10×20 - \frac{90π·10^{2}}{360} = (100 - 25π)$cm².

【解析】
(1)设$∠ BAC = n°$，根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，可得$π·DE = \frac{nπ·AD}{180}$，已知$AD = 2DE$，代入得$π·DE = \frac{nπ·2DE}{180}$，解得$n = 90$，即$∠ BAC = 90°$。
(2)已知$ED = 5$cm，则$AD = 2DE = 10$cm，由$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，得$BC = 2AD = 20$cm。
阴影部分面积$S_{阴}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×BC×AD - \frac{90π×10^{2}}{360}$，代入数值计算得$S_{阴}=100 - 25π$ cm²。
【答案】
(1)$∠ BAC = 90°$；
(2)剩余部分面积为$\boldsymbol{(100 - 25π)}$ cm²。
【知识点】
圆锥弧长公式，扇形面积公式，等腰三角形性质
【点评】
本题考查圆锥与扇形的综合应用，需掌握圆锥底面周长与扇形弧长的关系，灵活运用面积公式求解。
【难度系数】
0.6