4. 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题.
(1)阅读材料：
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角,就是将直线平移使其相交所成的角.例如,正方体 ABCD - A'B'C'D'(图①),因为在平面 AA'C'C 中,CC'//AA',AA'与 AB 相交于点 A,所以直线 AB 与 AA'所成的∠BAA'就是既不相交也不平行的两条直线 AB 与 CC'所成的角.
解决问题：
如图①,已知正方体 ABCD - A'B'C'D',求既不相交也不平行的两直线 BA'与 AC所成角的大小；

(2)如图②,M,N 是正方体相邻两个面上的点.
①下列甲、乙、丙三个图形中,只有一个图形可以作为图②的展开图,这个图形是；
②在所选正确展开图中,若点 M 到 AB,BC 的距离分别是 2 和 5,点 N 到 BD,BC的距离分别是 4 和 3,P 是 AB 上一动点,求 PM+PN 的最小值.

甲
乙
丙

4.解:(1)如图①,连接$BC'$.

∵$A'B=BC'=A'C'$，
∴$△ A'BC'$是等边三角形，
∴$∠ BA'C'=60°$.
∵$AC// A'C'$，
∴$∠ C'A'B$是两条直线$AC$与$BA'$所成的角，
∴两直线$BA'$与$AC$所成角为$60°$.
(2)①观察图形可知,图形丙是图②的展开图，故答案为:丙.
②如图②,作点$N$关于$AD$的对称点$K$，连接$MK$交$AD$于点$P$，连接$PN$，此时$PM + PN$的值最小，最小值为线段$MK$的长度，过点$M$作$MJ⊥ NK$于点$J$.

由题意,在$Rt△ MKJ$中，$∠ MJK = 90°$，
$MJ = 5 + 3 = 8$，$JK = 8 - (4 - 2) = 6$，
∴$MK = \sqrt{MJ^{2}+JK^{2}} = \sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，
∴$PM + PN$的最小值为$10$.

【解析】
(1) 如图①，连接$BC'$。
在正方体$ABCD - A'B'C'D'$中，$A'B=BC'=A'C'$，故$△ A'BC'$是等边三角形，因此$∠ BA'C'=60°$。
因为$AC// A'C'$，根据异面直线所成角的定义，$∠ C'A'B$就是直线$BA'$与$AC$所成的角，所以两直线$BA'$与$AC$所成角为$60°$。
(2) ① 观察图②中M、N的位置，对比甲、乙、丙三个展开图，只有丙图能对应图②中M、N在正方体相邻面上的位置，故这个图形是丙。
② 如图，作点$N$关于$AB$的对称点$K$，连接$MK$交$AB$于点$P$，此时$PM+PN$的值最小（两点之间线段最短）。过点$M$作$MJ⊥ NK$于点$J$。
在$Rt△ MKJ$中，$∠ MJK=90°$，由题意得$MJ=5+3=8$，$JK=8-(4-2)=6$，根据勾股定理：
$MK=\sqrt{MJ^{2}+JK^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$，
所以$PM+PN$的最小值为10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；
(2) ① $\boldsymbol{丙}$；② $\boldsymbol{10}$
【知识点】
异面直线所成角、正方体展开图、勾股定理
【点评】
本题以正方体为载体，考查立体图形与平面图形的转化思想，综合运用异面直线所成角的定义、正方体展开图的判断、对称法求最短路径及勾股定理等知识，要求学生具备空间想象能力和转化思维能力。
【难度系数】
0.4