4. 如图，等边三角形 $ ABC $ 的周长是 $ 18 $，$ AD $ 是 $ ∠ BAC $ 的平分线，则 $ BD = $。

∵△ABC是等边三角形，周长是18，
∴AB=BC=AC=18÷3=6。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD是BC边上的中线（等边三角形三线合一），
∴BD=BC÷2=6÷2=3。
3

5. 如图，$ △ ABC $ 为等边三角形，点 $ E $ 在 $ AB $ 上，点 $ F $ 在 $ AC $ 上，$ AE = CF $，$ CE $ 与 $ BF $ 相交于点 $ P $，则 $ ∠ EPB $ 的度数为。

在$△ ABC$是等边三角形中，$∠ ABC = ∠ BAC = ∠ ACB = 60°$，
$AE = CF$，
在$△ AEC$和$△ CFB$中，
$\begin{cases}AE = CF, \\∠ BAC = ∠ ACB, \\AC = BC,\end{cases}$
由$SAS$（边角边）相等，$△ AEC ≌ △ CFB$，
因此，$∠ ACE = ∠ FBC$，
$∠ EPB = ∠ PBC + ∠ BCE$
$= ∠ FBC + ∠ BCE$
$= ∠ ACE + ∠ BCE$
$= ∠ ACB$
$= 60°$
故答案为：$60°$。

6. 如图，点 $ D $，$ E $ 在 $ △ ABC $ 的边 $ BC $ 上，$ AD = AE $，$ AB = AC $，求证：$ BD = EC $。

证明：
由于 $AB = AC$，
根据等边对等角，得 $∠ B = ∠ C$（等腰三角形的性质）。
由于 $AD = AE$，
根据等边对等角，得 $∠ ADE = ∠ AED$（等腰三角形的性质）。
根据等角对等边（或内角和关系），得 $∠ BAD + ∠ B = ∠ CAD + ∠ C$，因为 $∠ B = ∠ C$，所以 $∠ BAD = ∠ CAE$。
由于 $∠ ADE = ∠ AED$，且 $∠ ADB = 180° - ∠ ADE$，$∠ AEC = 180° - ∠ AED$，所以 $∠ ADB = ∠ AEC$。
在 $△ ABD$ 和 $\△ ACE$ 中，
$\begin{matrix}∠ B = ∠ C, \\∠ BAD = ∠ CAE, \\AB = AC.\end{matrix}$
根据 $AAS$（角角边）全等条件，得 $△ ABD ≌ △ ACE$。
由于 $△ ABD ≌ △ ACE$，根据全等三角形的对应边相等，得 $BD = EC$。

7. 【数学文化】“三等分任意角”是古希腊三大几何难题之一。数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的。使用量角器的方法简单易行，但准确性太差。如图①所示的“三等分角仪”可以将任意一个角分成三等份。这个仪器由两根有槽的棒 $ PA $，$ PB $ 组成，两根棒在点 $ P $ 处相连并可绕点 $ P $ 旋转，$ C $ 是棒 $ PA $ 上的一个固定点，点 $ A $，$ O $ 可分别在棒 $ PA $，$ PB $ 上的槽中滑动，且始终保持 $ OA = OC = PC $。$ ∠ AOB $ 为要三等分的任意角，则利用“三等分角仪”可以得到 $ ∠ APB = \frac{1}{3} ∠ AOB $。我们把“三等分角仪”抽象成如图②所示的图形，请完成下面的证明。
已知：如图②，点 $ A $，$ C $ 在 $ ∠ APB $ 的边 $ PA $ 上，点 $ O $ 在 $ ∠ APB $ 的边 $ PB $ 上，且 $ OA = OC = PC $。
求证：$ ∠ APB = \frac{1}{3} ∠ AOB $。

证明：设∠APB = x。
∵ PC = OC，∴ ∠OPC = ∠COP = x（等边对等角）。
∵ ∠OCA是△OPC的外角，∴ ∠OCA = ∠OPC + ∠COP = x + x = 2x（三角形外角等于不相邻两个内角的和）。
∵ OA = OC，∴ ∠OAC = ∠OCA = 2x（等边对等角）。
在△AOP中，∠OAP + ∠APO + ∠AOP = 180°（三角形内角和定理），即 2x + x + ∠AOP = 180°，∴ ∠AOP = 180° - 3x。
∵ 点P，O，B在同一直线上，∴ ∠AOP + ∠AOB = 180°（平角定义），∴ ∠AOB = 180° - ∠AOP = 180° - (180° - 3x) = 3x。
∴ ∠APB = x = 1/3∠AOB，即∠APB = 1/3∠AOB。